Номер 2, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 2. Основное свойство рациональной дроби. Глава 1. Рациональные выражения - номер 2, страница 14.

Условие.

2. Что называют тождеством?

Решение 2.

Решение 8.

2. Что называют тождеством?

В математике тождеством называют равенство, которое является верным при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Это означает, что какое бы числовое значение из области определения мы ни подставили вместо переменной (или набора переменных), мы всегда получим верное числовое равенство.

Основное отличие тождества от уравнения заключается в том, что уравнение, как правило, справедливо лишь для определённого набора значений переменных (которые называют корнями или решениями), в то время как тождество справедливо для всего множества допустимых значений. Например, равенство $2x = 10$ является уравнением, так как оно верно только при $x=5$. В то же время равенство $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ — это тождество, так как оно верно для абсолютно любых значений $a$ и $b$.

Примеры известных тождеств:

• Алгебраические тождества (формулы сокращённого умножения):
  • Квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
  • Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
  • Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Тригонометрические тождества:
  • Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$
  • Формула двойного угла для синуса: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Процесс замены одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием. Тождественные преобразования являются ключевым инструментом для упрощения выражений, решения уравнений и неравенств, а также для доказательства других математических утверждений.

Ответ: Тождество — это равенство, которое выполняется при всех допустимых значениях входящих в него переменных.