Номер 23, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 1. Рациональные дроби. Упражнения - номер 23, страница 9.

Условие.

23. Разложите на множители:

1) $x^2 - 9;$

2) $25 - 4y^2;$

3) $36m^2 - 49n^2;$

4) $a^2b^2 - 81;$

5) $100m^6 - 1;$

6) $a^{10} - b^6;$

7) $c^3 - d^3;$

8) $a^3 + 8;$

9) $27m^6 - n^9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для разложения выражения $x^2 - 9$ на множители используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим исходное выражение в виде разности квадратов двух чисел: $x^2 - 9 = x^2 - 3^2$.

Применим формулу: $x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.

Ответ: $(x - 3)(x + 3)$.

2) Для разложения выражения $25 - 4y^2$ на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $25 - 4y^2 = 5^2 - (2y)^2$.

Применим формулу: $5^2 - (2y)^2 = (5 - 2y)(5 + 2y)$.

Ответ: $(5 - 2y)(5 + 2y)$.

3) Для разложения выражения $36m^2 - 49n^2$ на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $36m^2 - 49n^2 = (6m)^2 - (7n)^2$.

Применим формулу: $(6m)^2 - (7n)^2 = (6m - 7n)(6m + 7n)$.

Ответ: $(6m - 7n)(6m + 7n)$.

4) Для разложения выражения $a^2b^2 - 81$ на множители используется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $a^2b^2 - 81 = (ab)^2 - 9^2$.

Применим формулу: $(ab)^2 - 9^2 = (ab - 9)(ab + 9)$.

Ответ: $(ab - 9)(ab + 9)$.

5) Для разложения выражения $100m^6 - 1$ на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $100m^6 - 1 = (10m^3)^2 - 1^2$.

Применим формулу: $(10m^3)^2 - 1^2 = (10m^3 - 1)(10m^3 + 1)$.

Ответ: $(10m^3 - 1)(10m^3 + 1)$.

6) Для разложения выражения $a^{10} - b^6$ на множители используется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $a^{10} - b^6 = (a^5)^2 - (b^3)^2$.

Применим формулу: $(a^5)^2 - (b^3)^2 = (a^5 - b^3)(a^5 + b^3)$.

Ответ: $(a^5 - b^3)(a^5 + b^3)$.

7) Для разложения выражения $c^3 - d^3$ на множители используется формула сокращенного умножения "разность кубов": $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном случае переменные в формуле соответствуют переменным в выражении. Применяя формулу, получаем:

$c^3 - d^3 = (c - d)(c^2 + cd + d^2)$.

Ответ: $(c - d)(c^2 + cd + d^2)$.

8) Для разложения выражения $a^3 + 8$ на множители используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Представим выражение в виде суммы кубов: $a^3 + 8 = a^3 + 2^3$.

Применим формулу: $a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

Ответ: $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

9) Для разложения выражения $27m^6 - n^9$ на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим выражение в виде разности кубов: $27m^6 - n^9 = (3m^2)^3 - (n^3)^3$.

Применим формулу, где $a = 3m^2$ и $b = n^3$:

$(3m^2 - n^3)((3m^2)^2 + (3m^2)(n^3) + (n^3)^2) = (3m^2 - n^3)(9m^4 + 3m^2n^3 + n^6)$.

Ответ: $(3m^2 - n^3)(9m^4 + 3m^2n^3 + n^6)$.