Номер 73, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 73, страница 22.

Условие.

73. Упростите выражение:

1) $ \frac{x}{y-1} + \frac{2}{1-y}; $

2) $ \frac{3c}{c-d} + \frac{3d}{d-c}; $

3) $ \frac{3m+2n}{2m-3n} - \frac{m-8n}{3n-2m}; $

4) $ \frac{b^2}{2b-14} + \frac{49}{14-2b}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{x}{y-1} + \frac{2}{1-y}$, приведем дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби, $1-y$, можно представить как $-(y-1)$.

Преобразуем вторую дробь: $\frac{2}{1-y} = \frac{2}{-(y-1)} = -\frac{2}{y-1}$.

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{x}{y-1} - \frac{2}{y-1}$

Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{x-2}{y-1}$

Ответ: $\frac{x-2}{y-1}$.

2) Рассмотрим выражение $\frac{3c}{c-d} + \frac{3d}{d-c}$. Знаменатели $c-d$ и $d-c$ являются противоположными выражениями, так как $d-c = -(c-d)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $c-d$. Для этого изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе:

$\frac{3c}{c-d} + \frac{3d}{-(c-d)} = \frac{3c}{c-d} - \frac{3d}{c-d}$

Теперь вычтем числители, оставив знаменатель прежним:

$\frac{3c-3d}{c-d}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$\frac{3(c-d)}{c-d}$

Сократим дробь на общий множитель $(c-d)$:

$3$

Ответ: $3$.

3) Упростим выражение $\frac{3m+2n}{2m-3n} - \frac{m-8n}{3n-2m}$. Знаменатель второй дроби $3n-2m$ можно представить как $-(2m-3n)$.

Преобразуем выражение, изменив знак перед второй дробью и в ее знаменателе. Это позволит нам получить общий знаменатель $2m-3n$:

$\frac{3m+2n}{2m-3n} - \frac{m-8n}{-(2m-3n)} = \frac{3m+2n}{2m-3n} + \frac{m-8n}{2m-3n}$

Сложим числители дробей:

$\frac{(3m+2n) + (m-8n)}{2m-3n} = \frac{3m+m+2n-8n}{2m-3n} = \frac{4m-6n}{2m-3n}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(2m-3n)}{2m-3n}$

Сократим дробь на $(2m-3n)$:

$2$

Ответ: $2$.

4) Упростим выражение $\frac{b^2}{2b-14} + \frac{49}{14-2b}$. Знаменатели $2b-14$ и $14-2b$ являются противоположными: $14-2b = -(2b-14)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $2b-14$:

$\frac{b^2}{2b-14} + \frac{49}{-(2b-14)} = \frac{b^2}{2b-14} - \frac{49}{2b-14}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{b^2-49}{2b-14}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-k^2=(a-k)(a+k)$, а в знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\frac{(b-7)(b+7)}{2(b-7)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b-7)$:

$\frac{b+7}{2}$

Ответ: $\frac{b+7}{2}$.