Номер 78, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 78, страница 22.

Условие.

78. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{15 - 8a}{(a - 1)^2} - \frac{14 - 7a}{(1 - a)^2}$;

2) $\frac{3b^2 + 12}{(b - 2)^3} + \frac{12b}{(2 - b)^3}$;

3) $\frac{m^2 - 8n}{(m - 2)(n - 5)} - \frac{2m - 8n}{(2 - m)(5 - n)}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы выполнить вычитание дробей, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели связаны соотношением $(1-a)^2 = (-(a-1))^2 = (-1)^2(a-1)^2 = (a-1)^2$. Таким образом, знаменатели дробей равны.

$\frac{15-8a}{(a-1)^2} - \frac{14-7a}{(1-a)^2} = \frac{15-8a}{(a-1)^2} - \frac{14-7a}{(a-1)^2}$

Теперь выполним вычитание числителей:

$\frac{(15-8a) - (14-7a)}{(a-1)^2} = \frac{15-8a-14+7a}{(a-1)^2} = \frac{(15-14) + (-8a+7a)}{(a-1)^2} = \frac{1-a}{(a-1)^2}$

В числителе вынесем минус за скобки: $1-a = -(a-1)$.

$\frac{-(a-1)}{(a-1)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(a-1)$:

$\frac{-1}{a-1} = \frac{1}{-(a-1)} = \frac{1}{1-a}$

Ответ: $\frac{1}{1-a}$

2) Преобразуем знаменатель второй дроби. Заметим, что для нечетной степени верно $(2-b)^3 = (-(b-2))^3 = (-1)^3(b-2)^3 = -(b-2)^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{3b^2+12}{(b-2)^3} + \frac{12b}{(2-b)^3} = \frac{3b^2+12}{(b-2)^3} + \frac{12b}{-(b-2)^3} = \frac{3b^2+12}{(b-2)^3} - \frac{12b}{(b-2)^3}$

Так как знаменатели теперь одинаковы, объединим числители:

$\frac{3b^2+12 - 12b}{(b-2)^3} = \frac{3b^2 - 12b + 12}{(b-2)^3}$

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки:

$\frac{3(b^2 - 4b + 4)}{(b-2)^3}$

Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $b^2 - 4b + 4 = (b-2)^2$.

$\frac{3(b-2)^2}{(b-2)^3}$

Сократим дробь на $(b-2)^2$:

$\frac{3}{b-2}$

Ответ: $\frac{3}{b-2}$

3) Преобразуем знаменатель второй дроби. Вынесем знак минус из каждого множителя в скобках:

$(2-m)(5-n) = (-(m-2)) \cdot (-(n-5)) = (-1) \cdot (m-2) \cdot (-1) \cdot (n-5) = (m-2)(n-5)$

Мы видим, что знаменатели обеих дробей одинаковы. Перепишем выражение:

$\frac{m^2-8n}{(m-2)(n-5)} - \frac{2m-8n}{(2-m)(5-n)} = \frac{m^2-8n}{(m-2)(n-5)} - \frac{2m-8n}{(m-2)(n-5)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(m^2-8n) - (2m-8n)}{(m-2)(n-5)} = \frac{m^2-8n-2m+8n}{(m-2)(n-5)} = \frac{m^2-2m}{(m-2)(n-5)}$

В числителе вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$\frac{m(m-2)}{(m-2)(n-5)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m-2)$:

$\frac{m}{n-5}$

Ответ: $\frac{m}{n-5}$