Номер 83, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 83, страница 22.
№83 (с. 22)
Условие. №83 (с. 22)
скриншот условия

83. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $\frac{a^2 - 6}{(a-2)^4} - \frac{7a - 4}{(a-2)^4} + \frac{3a + 6}{(a-2)^4}$ принимает положительные значения.
Решение 1. №83 (с. 22)

Решение 2. №83 (с. 22)

Решение 3. №83 (с. 22)

Решение 4. №83 (с. 22)

Решение 5. №83 (с. 22)

Решение 6. №83 (с. 22)


Решение 7. №83 (с. 22)

Решение 8. №83 (с. 22)
Для доказательства утверждения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной a. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$(a - 2)^4 \neq 0$
Это условие выполняется, если $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$.
Далее упростим исходное выражение. Поскольку все три дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем выполнить действия с их числителями:
$\frac{a^2 - 6}{(a - 2)^4} - \frac{7a - 4}{(a - 2)^4} + \frac{3a + 6}{(a - 2)^4} = \frac{(a^2 - 6) - (7a - 4) + (3a + 6)}{(a - 2)^4}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$a^2 - 6 - 7a + 4 + 3a + 6 = a^2 + (-7a + 3a) + (-6 + 4 + 6) = a^2 - 4a + 4$
Выражение в числителе представляет собой полный квадрат разности:
$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$
Теперь подставим полученный результат обратно в дробь:
$\frac{(a - 2)^2}{(a - 2)^4}$
Сократим дробь, используя свойство степеней:
$\frac{(a - 2)^2}{(a - 2)^4} = \frac{1}{(a - 2)^{4-2}} = \frac{1}{(a - 2)^2}$
Проанализируем полученное выражение $\frac{1}{(a - 2)^2}$.
- Числитель дроби равен 1, что является положительным числом.
- Знаменатель дроби $(a - 2)^2$ — это квадрат выражения. Согласно ОДЗ, $a \neq 2$, поэтому выражение $a - 2$ не равно нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда является строго положительным числом. Следовательно, $(a - 2)^2 > 0$ при всех допустимых значениях a.
Таким образом, мы имеем дробь, у которой и числитель, и знаменатель строго положительны при всех допустимых значениях переменной. Частное двух положительных чисел всегда положительно. Это доказывает, что исходное выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях a.
Ответ: Исходное выражение после преобразований равно $\frac{1}{(a - 2)^2}$. При всех допустимых значениях ($a \neq 2$), знаменатель $(a - 2)^2$ строго положителен как квадрат ненулевого числа, а числитель равен 1 (также положителен). Следовательно, значение всего выражения всегда положительно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 83 расположенного на странице 22 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №83 (с. 22), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.