Номер 83, страница 22 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 83, страница 22.

Условие.

83. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $\frac{a^2 - 6}{(a-2)^4} - \frac{7a - 4}{(a-2)^4} + \frac{3a + 6}{(a-2)^4}$ принимает положительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства утверждения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной a. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$(a - 2)^4 \neq 0$

Это условие выполняется, если $a - 2 \neq 0$, то есть $a \neq 2$.

Далее упростим исходное выражение. Поскольку все три дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем выполнить действия с их числителями:

$\frac{a^2 - 6}{(a - 2)^4} - \frac{7a - 4}{(a - 2)^4} + \frac{3a + 6}{(a - 2)^4} = \frac{(a^2 - 6) - (7a - 4) + (3a + 6)}{(a - 2)^4}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 6 - 7a + 4 + 3a + 6 = a^2 + (-7a + 3a) + (-6 + 4 + 6) = a^2 - 4a + 4$

Выражение в числителе представляет собой полный квадрат разности:

$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$

Теперь подставим полученный результат обратно в дробь:

$\frac{(a - 2)^2}{(a - 2)^4}$

Сократим дробь, используя свойство степеней:

$\frac{(a - 2)^2}{(a - 2)^4} = \frac{1}{(a - 2)^{4-2}} = \frac{1}{(a - 2)^2}$

Проанализируем полученное выражение $\frac{1}{(a - 2)^2}$.

• Числитель дроби равен 1, что является положительным числом.
• Знаменатель дроби $(a - 2)^2$ — это квадрат выражения. Согласно ОДЗ, $a \neq 2$, поэтому выражение $a - 2$ не равно нулю. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда является строго положительным числом. Следовательно, $(a - 2)^2 > 0$ при всех допустимых значениях a.

Таким образом, мы имеем дробь, у которой и числитель, и знаменатель строго положительны при всех допустимых значениях переменной. Частное двух положительных чисел всегда положительно. Это доказывает, что исходное выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях a.

Ответ: Исходное выражение после преобразований равно $\frac{1}{(a - 2)^2}$. При всех допустимых значениях ($a \neq 2$), знаменатель $(a - 2)^2$ строго положителен как квадрат ненулевого числа, а числитель равен 1 (также положителен). Следовательно, значение всего выражения всегда положительно.