Номер 253, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Упражнения - номер 253, страница 64.

Условие.

253. Расположите в порядке возрастания:

1) $7^{-2}, 7^2, 7^{-1}, 7^0$;

2) $\left(\frac{1}{3}\right)^2, \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}, \left(\frac{1}{3}\right)^0, \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, нужно сравнить их значения. Для этого вычислим значение каждого выражения, используя свойства степеней.

• $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$
• $7^0 = 1$ (любое ненулевое число в нулевой степени равно 1)
• $7^{-1} = \frac{1}{7^1} = \frac{1}{7}$ (степень с отрицательным показателем равна обратному числу в положительной степени)
• $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$

Теперь сравним полученные значения: $49$, $1$, $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{49}$.

Располагаем их в порядке от наименьшего к наибольшему:

$\frac{1}{49} < \frac{1}{7} < 1 < 49$

Теперь заменим вычисленные значения на исходные выражения:

$7^{-2} < 7^{-1} < 7^0 < 7^2$

Также можно было воспользоваться свойством степенной функции $y=a^x$. Так как основание $a=7$ больше единицы ($7 > 1$), функция является возрастающей. Это означает, что большему показателю степени соответствует большее значение. Расположим показатели степеней ($-2, 2, -1, 0$) в порядке возрастания: $-2 < -1 < 0 < 2$. Следовательно, и сами числа будут расположены в том же порядке.

Ответ: $7^{-2}, 7^{-1}, 7^0, 7^2$.

2) Аналогично первому пункту, вычислим значения выражений $(\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^{-3}, (\frac{1}{3})^0, (\frac{1}{3})^{-1}$.

• $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$
• $(\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3 = 27$
• $(\frac{1}{3})^0 = 1$
• $(\frac{1}{3})^{-1} = (\frac{3}{1})^1 = 3$

Сравним полученные значения: $\frac{1}{9}, 27, 1, 3$.

Расположим их в порядке возрастания:

$\frac{1}{9} < 1 < 3 < 27$

Сопоставим эти значения с исходными выражениями:

$(\frac{1}{3})^2 < (\frac{1}{3})^0 < (\frac{1}{3})^{-1} < (\frac{1}{3})^{-3}$

В данном случае основание степени $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$. Поэтому степенная функция $y=(\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Это значит, что большему показателю степени соответствует меньшее значение. Расположив показатели $(2, -3, 0, -1)$ в порядке возрастания: $-3 < -1 < 0 < 2$, мы должны расположить сами числа в обратном порядке.

Ответ: $(\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^0, (\frac{1}{3})^{-1}, (\frac{1}{3})^{-3}$.