Номер 251, страница 64 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 251, страница 64.

Условие.

251. Найдите значение выражения:

1) $(-\frac{1}{3})^{-1} \cdot 10^{-1} + 9^0 - (-2)^3 + \left(\frac{2}{9}\right)^{-2} \cdot (-1,5)^{-3};$

2) $(2,5)^{-2} - (8^5)^0 + \left(1\frac{2}{3}\right)^{-3} + 0,1^{-1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Найдем значение выражения по частям, соблюдая порядок действий: $\left(-\frac{1}{3}\right)^{-1} \cdot 10^{-1} + 9^0 - (-2)^3 + \left(\frac{2}{9}\right)^{-2} \cdot (-1,5)^{-3}$.

Сначала вычислим значения отдельных степеней:
1. $\left(-\frac{1}{3}\right)^{-1} = \frac{1}{-1/3} = -3$.
2. $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1$.
3. $9^0 = 1$ (любое ненулевое число в степени 0 равно 1).
4. $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
5. $\left(\frac{2}{9}\right)^{-2} = \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{9^2}{2^2} = \frac{81}{4}$.
6. $(-1,5)^{-3} = \left(-\frac{3}{2}\right)^{-3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{(-2)^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним действия умножения, а затем сложения и вычитания:
$\left(-\frac{1}{3}\right)^{-1} \cdot 10^{-1} + 9^0 - (-2)^3 + \left(\frac{2}{9}\right)^{-2} \cdot (-1,5)^{-3} = (-3) \cdot 0,1 + 1 - (-8) + \frac{81}{4} \cdot \left(-\frac{8}{27}\right)$.

Выполним умножение:
$(-3) \cdot 0,1 = -0,3$.
$\frac{81}{4} \cdot \left(-\frac{8}{27}\right) = -\frac{81 \cdot 8}{4 \cdot 27} = -\frac{3 \cdot 27 \cdot 2 \cdot 4}{4 \cdot 27} = -3 \cdot 2 = -6$.

Подставим результаты в выражение:
$-0,3 + 1 - (-8) + (-6) = -0,3 + 1 + 8 - 6 = -0,3 + 9 - 6 = -0,3 + 3 = 2,7$.

Ответ: 2,7

2) Найдем значение выражения по частям: $(2,5)^{-2} - (8^5)^0 + \left(1\frac{2}{3}\right)^{-3} + 0,1^{-1}$.

Сначала вычислим значения отдельных степеней, предварительно преобразовав десятичные и смешанные дроби в обыкновенные:
1. $(2,5)^{-2} = \left(\frac{25}{10}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$.
2. $(8^5)^0 = 1$ (так как $8^5 \ne 0$).
3. $\left(1\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{1 \cdot 3 + 2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{3^3}{5^3} = \frac{27}{125}$.
4. $0,1^{-1} = \left(\frac{1}{10}\right)^{-1} = 10$.

Подставим полученные значения в выражение:
$\frac{4}{25} - 1 + \frac{27}{125} + 10$.

Сгруппируем целые числа и дроби:
$(10 - 1) + \left(\frac{4}{25} + \frac{27}{125}\right)$.

Приведем дроби к общему знаменателю 125:
$\frac{4}{25} = \frac{4 \cdot 5}{25 \cdot 5} = \frac{20}{125}$.
$\frac{20}{125} + \frac{27}{125} = \frac{20 + 27}{125} = \frac{47}{125}$.

Сложим целую и дробную части:
$9 + \frac{47}{125} = 9\frac{47}{125}$.
Для удобства можно перевести в десятичную дробь:
$\frac{4}{25} = 0,16$.
$\frac{27}{125} = \frac{27 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{216}{1000} = 0,216$.
Тогда выражение равно: $0,16 - 1 + 0,216 + 10 = 10,376 - 1 = 9,376$.

Ответ: 9,376