Номер 262, страница 65 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 262, страница 65.

Условие.

262. В таблице приведены расстояния от Солнца до планет Солнечной системы.

Планета: Расстояние, км

Венера: $1.082 \cdot 10^8$

Земля: $1.495 \cdot 10^8$

Марс: $2.280 \cdot 10^8$

Меркурий: $5.790 \cdot 10^7$

Нептун: $4.497 \cdot 10^9$

Сатурн: $1.427 \cdot 10^9$

Уран: $2.871 \cdot 10^9$

Юпитер: $7.781 \cdot 10^8$

1) Какая планета находится на наименьшем расстоянии от Солнца, а какая — на наибольшем?

2) Какая из планет, Марс или Сатурн, находится дальше от Солнца?

3) Составьте таблицу, записав в левом столбце названия планет в порядке увеличения расстояния от них до Солнца, а в правом — расстояния от них до Солнца, выраженные в миллионах километров.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти планету на наименьшем и наибольшем расстоянии от Солнца, необходимо сравнить все расстояния, приведенные в таблице. Для удобства сравнения чисел, записанных в стандартном виде $a \cdot 10^n$, приведем их к одному показателю степени, например, к $10^8$.

Расстояния до планет в километрах:

• Венера: $1,082 \cdot 10^8$
• Земля: $1,495 \cdot 10^8$
• Марс: $2,280 \cdot 10^8$
• Меркурий: $5,790 \cdot 10^7 = 0,579 \cdot 10^8$
• Нептун: $4,497 \cdot 10^9 = 44,97 \cdot 10^8$
• Сатурн: $1,427 \cdot 10^9 = 14,27 \cdot 10^8$
• Уран: $2,871 \cdot 10^9 = 28,71 \cdot 10^8$
• Юпитер: $7,781 \cdot 10^8$

Теперь, когда все числа имеют одинаковый множитель $10^8$, мы можем сравнить их первые части (мантиссы):

$0,579 < 1,082 < 1,495 < 2,280 < 7,781 < 14,27 < 28,71 < 44,97$

Из этого сравнения видно, что наименьшее значение ($0,579 \cdot 10^8 \text{ км}$) соответствует Меркурию, а наибольшее ($44,97 \cdot 10^8 \text{ км}$) — Нептуну.

Ответ: На наименьшем расстоянии от Солнца находится Меркурий, а на наибольшем — Нептун.

2) Чтобы определить, какая из планет — Марс или Сатурн — находится дальше от Солнца, сравним их расстояния:

• Расстояние до Марса: $2,280 \cdot 10^8$ км.
• Расстояние до Сатурна: $1,427 \cdot 10^9$ км.

При сравнении чисел в стандартном виде в первую очередь сравнивают показатели степени ($n$ в выражении $a \cdot 10^n$). У расстояния до Сатурна показатель степени равен $9$, а у Марса — $8$. Так как $9 > 8$, то и число $1,427 \cdot 10^9$ больше, чем $2,280 \cdot 10^8$. Следовательно, Сатурн находится дальше от Солнца, чем Марс.

Ответ: Дальше от Солнца находится Сатурн.

3) Для составления таблицы расположим планеты в порядке увеличения расстояния до Солнца (согласно расчетам из пункта 1) и выразим эти расстояния в миллионах километров. Для перевода из километров в миллионы километров нужно разделить значение на $10^6$.

• Меркурий: $5,790 \cdot 10^7 \text{ км} = \frac{5,790 \cdot 10^7}{10^6} \text{ млн км} = 57,9 \text{ млн км}$
• Венера: $1,082 \cdot 10^8 \text{ км} = \frac{1,082 \cdot 10^8}{10^6} \text{ млн км} = 108,2 \text{ млн км}$
• Земля: $1,495 \cdot 10^8 \text{ км} = \frac{1,495 \cdot 10^8}{10^6} \text{ млн км} = 149,5 \text{ млн км}$
• Марс: $2,280 \cdot 10^8 \text{ км} = \frac{2,280 \cdot 10^8}{10^6} \text{ млн км} = 228 \text{ млн км}$
• Юпитер: $7,781 \cdot 10^8 \text{ км} = \frac{7,781 \cdot 10^8}{10^6} \text{ млн км} = 778,1 \text{ млн км}$
• Сатурн: $1,427 \cdot 10^9 \text{ км} = \frac{1,427 \cdot 10^9}{10^6} \text{ млн км} = 1427 \text{ млн км}$
• Уран: $2,871 \cdot 10^9 \text{ км} = \frac{2,871 \cdot 10^9}{10^6} \text{ млн км} = 2871 \text{ млн км}$
• Нептун: $4,497 \cdot 10^9 \text{ км} = \frac{4,497 \cdot 10^9}{10^6} \text{ млн км} = 4497 \text{ млн км}$

Ответ:

Планета	Расстояние, млн км
Меркурий	57,9
Венера	108,2
Земля	149,5
Марс	228
Юпитер	778,1
Сатурн	1427
Уран	2871
Нептун	4497