Номер 8, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №3 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 1. Рациональные выражения - номер 8, страница 85.

Условие.

8. Найдите значение выражения $\frac{9^{-2} \cdot 3^{-5}}{81 \cdot 27^{-3}}$.

А) 81

Б) $\frac{1}{81}$

В) 27

Г) $\frac{1}{27}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Чтобы найти значение выражения, приведем все числа к одному основанию — числу 3, так как 9, 81 и 27 являются его степенями.

Представим числа в виде степеней тройки:

• $9 = 3^2$
• $81 = 3^4$
• $27 = 3^3$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{9^{-2} \cdot 3^{-5}}{81 \cdot 27^{-3}} = \frac{(3^2)^{-2} \cdot 3^{-5}}{3^4 \cdot (3^3)^{-3}}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{3^{2 \cdot (-2)} \cdot 3^{-5}}{3^4 \cdot 3^{3 \cdot (-3)}} = \frac{3^{-4} \cdot 3^{-5}}{3^4 \cdot 3^{-9}}$

Далее применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя и знаменателя:

$\frac{3^{-4+(-5)}}{3^{4+(-9)}} = \frac{3^{-9}}{3^{-5}}$

Теперь используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{-9 - (-5)} = 3^{-9+5} = 3^{-4}$

Наконец, вычислим значение, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

Полученное значение $\frac{1}{81}$ соответствует варианту ответа Б).

Ответ: $\frac{1}{81}$.