Номер 322, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Глава 1. Рациональные выражения - номер 322, страница 81.

Условие.

322. Постройте график функции $y = -\frac{8}{x}$. Пользуясь графиком, найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: 4; -1;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 2; -8;

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика функции $y = -\frac{8}{x}$ сначала определим ее тип и свойства. Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Поскольку коэффициент $k=-8$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Ось ординат (прямая $x=0$) и ось абсцисс (прямая $y=0$) являются асимптотами графика.

Составим таблицу значений для нескольких точек, чтобы точно построить график:

$x$	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
$y = -\frac{8}{x}$	1	2	4	8	-8	-4	-2	-1

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, мы получим две ветви гиперболы. Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

1) значение функции, если значение аргумента равно: 4; -1;
Чтобы найти значение функции при $x=4$, находим на оси абсцисс (горизонтальной оси) точку 4. От этой точки опускаем перпендикуляр до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим перпендикуляр к оси ординат (вертикальной оси) и видим, что он попадает в точку -2. Таким образом, при $x=4$, $y=-2$.
Чтобы найти значение функции при $x=-1$, находим на оси абсцисс точку -1. От этой точки поднимаем перпендикуляр до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим перпендикуляр к оси ординат и видим, что он попадает в точку 8. Таким образом, при $x=-1$, $y=8$.
Ответ: при $x=4$ значение функции $y=-2$; при $x=-1$ значение функции $y=8$.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 2; -8;
Чтобы найти значение аргумента, при котором $y=2$, находим на оси ординат точку 2. Из этой точки проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком (в данном случае, с ветвью во второй четверти). Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс и попадаем в точку -4. Таким образом, $y=2$ при $x=-4$.
Чтобы найти значение аргумента, при котором $y=-8$, находим на оси ординат точку -8. Из этой точки проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком (с ветвью в четвертой четверти). Из точки пересечения поднимаем перпендикуляр на ось абсцисс и попадаем в точку 1. Таким образом, $y=-8$ при $x=1$.
Ответ: значение функции равно 2 при $x=-4$; значение функции равно -8 при $x=1$.

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.
Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс (оси Ox). Глядя на построенный график, мы видим, что это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Все точки на этой ветви имеют отрицательные значения аргумента $x$.
Следовательно, функция $y = -\frac{8}{x}$ принимает положительные значения при всех $x < 0$.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$.