Номер 5, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Вопросы - номер 5, страница 113.

Условие.

5. Что называют объединением двух множеств?

Решение 2.

Решение 8.

Определение

Объединением (иногда также называемым суммой) двух множеств $A$ и $B$ называется такое множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. Иными словами, в объединение входят все элементы, которые есть в множестве $A$, или в множестве $B$, или в обоих множествах одновременно.

Объединение множеств $A$ и $B$ обозначается символом $\cup$, а запись $A \cup B$ читается как "А объединение Б".

Формальное определение объединения с помощью теоретико-множественной записи выглядит так:$A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}$Здесь символ $\lor$ означает логическое "ИЛИ". Эта запись говорит о том, что элемент $x$ принадлежит объединению $A \cup B$ тогда и только тогда, когда $x$ принадлежит множеству $A$ или $x$ принадлежит множеству $B$. Важно помнить, что множества не содержат дубликатов, поэтому если элемент принадлежит обоим исходным множествам, в их объединение он войдет только в одном экземпляре.

Пример

Рассмотрим два множества:

• Множество $A = \{1, 3, 5, 7\}$ (множество нечетных чисел до 8)
• Множество $B = \{1, 2, 3, 5, 8\}$ (некоторые числа Фибоначчи)

Чтобы найти их объединение $A \cup B$, мы должны собрать все уникальные элементы из обоих множеств.

Начнем с элементов множества $A$: $\{1, 3, 5, 7\}$.Теперь добавим к ним недостающие элементы из множества $B$:

• Элемент '1' уже есть.
• Элемент '2' отсутствует, добавляем его.
• Элемент '3' уже есть.
• Элемент '5' уже есть.
• Элемент '8' отсутствует, добавляем его.

В результате объединения всех уникальных элементов получаем новое множество:$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8\}$

Основные свойства операции объединения

• Коммутативность (переместительный закон): Порядок множеств при объединении не имеет значения. $A \cup B = B \cup A$.
• Ассоциативность (сочетательный закон): При объединении трех и более множеств порядок выполнения операций не важен. $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$.
• Идемпотентность: Объединение множества с самим собой равно самому множеству. $A \cup A = A$.
• Объединение с пустым множеством: Пустое множество ($\emptyset$) является нейтральным элементом для операции объединения, то есть объединение любого множества с пустым множеством равно самому этому множеству. $A \cup \emptyset = A$.

Ответ: Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств. Формально, для множеств $A$ и $B$ их объединение $A \cup B$ — это множество всех таких элементов $x$, для которых верно утверждение "$x$ принадлежит $A$ или $x$ принадлежит $B$".