Страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

461. В саду растёт более 80, но менее 100 деревьев. Каждое третье дерево – яблоня, а каждое восьмое – груша. Сколько деревьев растёт в саду?

Пусть $N$ – общее количество деревьев в саду.

По условию задачи, количество деревьев в саду больше 80, но меньше 100. Это можно записать в виде двойного неравенства: $80 < N < 100$.

Также известно, что каждое третье дерево – яблоня. Это означает, что общее количество деревьев $N$ должно делиться на 3 без остатка (быть кратным 3).

Кроме того, каждое восьмое дерево – груша. Это означает, что общее количество деревьев $N$ должно также делиться на 8 без остатка (быть кратным 8).

Таким образом, число $N$ должно быть общим кратным для чисел 3 и 8, то есть оно должно делиться и на 3, и на 8. Чтобы найти такие числа, сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3 и 8.

Поскольку числа 3 и 8 взаимно простые (их наибольший общий делитель равен 1), их НОК равно их произведению:
$НОК(3, 8) = 3 \times 8 = 24$.

Это означает, что общее количество деревьев в саду должно быть кратно 24. Теперь найдем числа, кратные 24, которые удовлетворяют нашему неравенству $80 < N < 100$.
Выпишем числа, кратные 24:
$24 \times 1 = 24$ (не подходит, так как $24 < 80$)
$24 \times 2 = 48$ (не подходит, так как $48 < 80$)
$24 \times 3 = 72$ (не подходит, так как $72 < 80$)
$24 \times 4 = 96$ (подходит, так как $80 < 96 < 100$)
$24 \times 5 = 120$ (не подходит, так как $120 > 100$)

Единственное число, которое удовлетворяет всем условиям задачи, – это 96.

Ответ: 96 деревьев.

462. Известно, что $\frac{a}{b} = 3$. Найдите значение выражения $\frac{2a - 3b}{a}$.

Для решения этой задачи воспользуемся методом подстановки. Из условия известно, что $ \frac{a}{b} = 3 $. Выразим из этого равенства переменную $a$ через переменную $b$:

$ a = 3b $

Теперь подставим полученное выражение для $a$ в исходную дробь $ \frac{2a - 3b}{a} $:

$ \frac{2(3b) - 3b}{3b} $

Далее, упростим выражение в числителе:

$ \frac{6b - 3b}{3b} = \frac{3b}{3b} $

Так как из условия $ \frac{a}{b} = 3 $ следует, что $ b \neq 0 $ (иначе деление на ноль было бы невозможно), мы можем сократить дробь на $3b$:

$ \frac{3b}{3b} = 1 $

Ответ: 1

463. Сравните:

1) 2,4578 и 2,4569;

2) -1,9806 и -1,981.

1) Чтобы сравнить две положительные десятичные дроби 2,4578 и 2,4569, их сравнивают поразрядно, слева направо. Сначала сравнивают целые части. Если они равны, сравнивают цифры в разряде десятых, затем сотых и так далее до первого несовпадения.

В числах 2,4578 и 2,4569 целые части равны ($2=2$). Цифры в разрядах десятых и сотых также совпадают ($4=4$ и $5=5$). Первое различие мы встречаем в разряде тысячных: у числа 2,4578 в этом разряде стоит цифра 7, а у числа 2,4569 — цифра 6. Так как $7 > 6$, то и число 2,4578 больше числа 2,4569.

Ответ: $2,4578 > 2,4569$.

2) Чтобы сравнить два отрицательных числа -1,9806 и -1,981, нужно сравнить их модули (абсолютные значения). Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше.

Сравним модули этих чисел: $|-1,9806| = 1,9806$ и $|-1,981| = 1,981$. Для удобства сравнения уравняем количество знаков после запятой у модулей, дописав ноль в конце второго числа: $1,981 = 1,9810$.

Теперь сравним поразрядно $1,9806$ и $1,9810$. Целые части, десятые и сотые у них совпадают. Различие находится в разряде тысячных: $0 < 1$. Следовательно, $1,9806 < 1,9810$.

Поскольку модуль числа -1,9806 меньше модуля числа -1,981 ($|-1,9806| < |-1,981|$), то само число -1,9806 больше, чем -1,981.

Ответ: $-1,9806 > -1,981$.

464. Прочитайте периодическую дробь и назовите её период:

1) $0,(5)$;

2) $1,(32)$;

3) $8,4(65)$;

4) $3,424242...$.

1) Периодическая дробь $0,(5)$ читается как «ноль целых и пять в периоде». Это чистая периодическая дробь, так как период начинается сразу после запятой. Период дроби — это повторяющаяся цифра (или группа цифр), которая в краткой записи заключается в скобки. Для дроби $0,(5)$, которая в развернутом виде выглядит как $0,5555...$, периодом является цифра 5.
Ответ: 5

2) Периодическая дробь $1,(32)$ читается как «одна целая и тридцать два в периоде». Это также чистая периодическая дробь. Периодом является группа цифр, заключенная в скобки, то есть 32. В развернутом виде эта дробь записывается как $1,323232...$
Ответ: 32

3) Периодическая дробь $8,4(65)$ читается как «восемь целых, четыре десятых и шестьдесят пять в периоде». Это смешанная периодическая дробь, так как между запятой и периодом (65) есть цифра, которая не повторяется (это цифра 4). Периодом является повторяющаяся группа цифр, заключенная в скобки. В развернутом виде эта дробь записывается как $8,4656565...$
Ответ: 65

4) В десятичной дроби $3,424242...$ мы видим, что после запятой бесконечно повторяется группа цифр 42. Следовательно, это периодическая дробь. Для ее краткой записи повторяющуюся группу цифр (период) заключают в скобки: $3,(42)$. Дробь читается как «три целых и сорок два в периоде». Периодом этой дроби является 42.
Ответ: 42

465. Преобразуйте в десятичную дробь:

1) $\frac{4}{5}$;

2) $\frac{3}{8}$;

3) $\frac{7}{16}$;

4) $\frac{97}{80}$;

5) $\frac{42}{15}$.

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, необходимо разделить числитель на знаменатель. Если знаменатель дроби можно представить в виде произведения только двоек и пятерок, то такая дробь преобразуется в конечную десятичную дробь. В противном случае получается бесконечная периодическая десятичная дробь.

1) Чтобы преобразовать дробь $\frac{4}{5}$, можно привести ее к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 2.

$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} = 0.8$

Также можно просто разделить 4 на 5:

$4 \div 5 = 0.8$

Ответ: $0.8$

2) Чтобы преобразовать дробь $\frac{3}{8}$, можно привести ее к знаменателю 1000, умножив числитель и знаменатель на 125, так как $8 \times 125 = 1000$.

$\frac{3}{8} = \frac{3 \times 125}{8 \times 125} = \frac{375}{1000} = 0.375$

Делением столбиком:

$3 \div 8 = 0.375$

Ответ: $0.375$

3) Чтобы преобразовать дробь $\frac{7}{16}$, можно привести ее к знаменателю 10000. Для этого нужно умножить числитель и знаменатель на 625, так как $16 \times 625 = 10000$.

$\frac{7}{16} = \frac{7 \times 625}{16 \times 625} = \frac{4375}{10000} = 0.4375$

Делением столбиком:

$7 \div 16 = 0.4375$

Ответ: $0.4375$

4) Чтобы преобразовать дробь $\frac{97}{80}$, можно разделить 97 на 80. Это неправильная дробь, поэтому десятичная дробь будет больше 1.

$97 \div 80 = 1.2125$

Другой способ — приведение к знаменателю, являющемуся степенью 10. $80 = 8 \times 10 = 2^3 \times (2 \times 5) = 2^4 \times 5^1$. Чтобы степени у 2 и 5 были одинаковыми, нужно умножить на $5^3=125$.

$\frac{97}{80} = \frac{97 \times 125}{80 \times 125} = \frac{12125}{10000} = 1.2125$

Ответ: $1.2125$

5) Дробь $\frac{42}{15}$ можно сначала сократить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3.

$\frac{42}{15} = \frac{42 \div 3}{15 \div 3} = \frac{14}{5}$

Теперь полученную дробь $\frac{14}{5}$ легко преобразовать в десятичную, умножив числитель и знаменатель на 2.

$\frac{14}{5} = \frac{14 \times 2}{5 \times 2} = \frac{28}{10} = 2.8$

Также можно было сразу разделить 42 на 15:

$42 \div 15 = 2.8$

Ответ: $2.8$

466. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и определите её период:

1) $\frac{5}{6}$;

2) $\frac{11}{15}$;

3) $\frac{9}{11}$;

4) $\frac{31}{33}$.

1) Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, необходимо разделить её числитель на знаменатель. Для дроби $\frac{5}{6}$ выполним деление 5 на 6.

Так как 5 меньше 6, целая часть десятичной дроби равна 0. Делим 50 на 6, получаем 8 в частном и 2 в остатке ($6 \times 8 = 48$). Далее делим 20 на 6, получаем 3 в частном и 2 в остатке ($6 \times 3 = 18$). Поскольку остаток 2 начал повторяться, цифра 3 в частном также будет повторяться бесконечно.
Процесс деления: $5 \div 6 = 0,8333...$
Полученную бесконечную дробь записывают в виде $0,8(3)$. Цифра, стоящая в скобках, называется периодом дроби.

Ответ: $0,8(3)$, период 3.

2) Преобразуем дробь $\frac{11}{15}$, разделив числитель 11 на знаменатель 15.

Целая часть равна 0. Делим 110 на 15, получаем 7 в частном и 5 в остатке ($15 \times 7 = 105$). Затем делим 50 на 15, получаем 3 в частном и 5 в остатке ($15 \times 3 = 45$). Остаток 5 начинает повторяться, следовательно, цифра 3 в частном будет повторяться бесконечно.
Процесс деления: $11 \div 15 = 0,7333...$
Запись в виде периодической дроби: $0,7(3)$. Период этой дроби — 3.

Ответ: $0,7(3)$, период 3.

3) Преобразуем дробь $\frac{9}{11}$, разделив 9 на 11.

Целая часть равна 0. Делим 90 на 11, получаем 8 в частном и 2 в остатке ($11 \times 8 = 88$). Затем делим 20 на 11, получаем 1 в частном и 9 в остатке ($11 \times 1 = 11$). Так как остаток 9 — это исходный числитель, то последовательность цифр в частном начнет повторяться.
Процесс деления: $9 \div 11 = 0,8181...$
Получаем чистую периодическую дробь $0,(81)$. Период дроби — это повторяющаяся группа цифр, то есть 81.

Ответ: $0,(81)$, период 81.

4) Преобразуем дробь $\frac{31}{33}$, разделив 31 на 33.

Целая часть равна 0. Делим 310 на 33, получаем 9 в частном и 13 в остатке ($33 \times 9 = 297$). Затем делим 130 на 33, получаем 3 в частном и 31 в остатке ($33 \times 3 = 99$). Так как остаток 31 — это исходный числитель, частное начнет повторяться.
Процесс деления: $31 \div 33 = 0,9393...$
Получаем чистую периодическую дробь $0,(93)$. Период этой дроби равен 93.

Ответ: $0,(93)$, период 93.

467. Попарно различные числа $a, b, c$ удовлетворяют условию $a^2(b+c) = b^2(c+a)$. Докажите, что $a^2(b+c) = c^2(a+b)$.

По условию задачи даны попарно различные числа $a$, $b$, $c$ (то есть $a \neq b$, $a \neq c$, $b \neq c$), для которых выполняется равенство:

$a^2(b + c) = b^2(c + a)$

Преобразуем это равенство. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть уравнения:

$a^2b + a^2c - b^2c - b^2a = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(a^2b - b^2a) + (a^2c - b^2c) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ab(a - b) + c(a^2 - b^2) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ ко второму слагаемому:

$ab(a - b) + c(a - b)(a + b) = 0$

Теперь мы можем вынести за скобку общий множитель $(a - b)$:

$(a - b)(ab + c(a + b)) = 0$

Раскрыв внутренние скобки, получаем:

$(a - b)(ab + ac + bc) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. По условию, числа $a$ и $b$ различны, следовательно, $a - b \neq 0$. Значит, равенство может выполняться только в том случае, если второй множитель равен нулю:

$ab + bc + ca = 0$

Мы получили ключевое соотношение, которое следует из начального условия. Теперь, используя это соотношение, докажем требуемое равенство. Нам нужно доказать, что $a^2(b + c) = c^2(a + b)$. Мы покажем, что оба эти выражения, а также исходное $b^2(c + a)$, равны одной и той же величине.

Из соотношения $ab + bc + ca = 0$ выразим суммы в скобках:

• $bc = -ab - ca \implies bc = -a(b+c) \implies a(b+c) = -bc$
• $ca = -ab - bc \implies ca = -b(a+c) \implies b(c+a) = -ca$
• $ab = -bc - ca \implies ab = -c(b+a) \implies c(a+b) = -ab$

Подставим эти выражения в левые части равенств, которые мы рассматриваем:

1. $a^2(b+c) = a \cdot [a(b+c)] = a(-bc) = -abc$

2. $b^2(c+a) = b \cdot [b(c+a)] = b(-ca) = -abc$

3. $c^2(a+b) = c \cdot [c(a+b)] = c(-ab) = -abc$

Так как все три выражения равны $-abc$, они равны между собой. Таким образом, из $a^2(b + c) = b^2(c + a)$ следует, что $a^2(b + c) = c^2(a + b)$.

Ответ: Из данного равенства $a^2(b + c) = b^2(c + a)$ и условия, что числа $a, b, c$ попарно различны, следует ключевое соотношение $ab + bc + ca = 0$. Используя это соотношение, можно показать, что каждое из выражений $a^2(b+c)$, $b^2(c+a)$ и $c^2(a+b)$ равно $-abc$. Таким образом, все три выражения равны между собой, что и требовалось доказать.