Страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

472. Какие из данных бесконечных дробей являются записями рациональных чисел, а какие — иррациональных:

1) $0,\overline{3}$;

2) $0,4\overline{32}$;

3) $0,20200200020\dots$ (количество нулей между соседними двойками последовательно увеличивается на 1)?

Для того чтобы определить, какие из данных бесконечных дробей являются записями рациональных чисел, а какие — иррациональных, необходимо вспомнить определения этих чисел.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Десятичная запись рационального числа всегда является либо конечной, либо бесконечной периодической дробью.

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Десятичная запись иррационального числа является бесконечной непериодической дробью.

1) 0,(3);

Данная дробь $0,(3) = 0,333...$ является бесконечной периодической десятичной дробью, где цифра '3' является периодом. Любую бесконечную периодическую дробь можно преобразовать в обыкновенную, следовательно, она является рациональным числом.

Проведем преобразование:

Пусть $x = 0,(3)$.

Тогда $10x = 3,(3)$.

Вычтем из второго равенства первое:

$10x - x = 3,(3) - 0,(3)$

$9x = 3$

$x = 3/9 = 1/3$

Поскольку число можно представить в виде дроби 1/3, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

2) 0,4(32);

Данная дробь $0,4(32) = 0,4323232...$ является смешанной бесконечной периодической дробью. Здесь '4' — это предпериод, а '32' — период. Такие дроби также всегда являются рациональными числами.

Проведем преобразование в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 0,4(32)$.

Умножим на 10, чтобы выделить непериодическую часть:

$10x = 4,(32) = 4,323232...$

Умножим на 1000, чтобы сдвинуть один период влево:

$1000x = 432,(32) = 432,323232...$

Вычтем из второго полученного равенства первое:

$1000x - 10x = 432,(32) - 4,(32)$

$990x = 428$

$x = 428/990 = 214/495$

Поскольку число можно представить в виде дроби 214/495, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

3) 0,20200200020... (количество нулей между соседними двойками последовательно увеличивается на 1)

Эта дробь является бесконечной. Проанализируем ее на периодичность. Последовательность цифр выглядит так: 202002000200002...

Мы видим, что количество нулей между двойками постоянно увеличивается на единицу. Это означает, что в последовательности цифр нет повторяющегося блока (периода). Если бы период существовал, то последовательность цифр, составляющая его, должна была бы повторяться бесконечно, но здесь структура записи постоянно меняется.

Так как это бесконечная непериодическая дробь, она является записью иррационального числа.

Ответ: иррациональное число.

473. Сравните:

1) $6,542...$ и $6,452...$;

2) $-24,064...$ и $-24,165...$.

1) Сравним числа $6,542...$ и $6,452...$.

Для сравнения двух положительных десятичных дробей необходимо сравнивать их разряды поочередно слева направо, начиная с целой части.

Целые части обоих чисел равны: $6 = 6$.

Сравниваем следующий разряд — десятые. У первого числа в разряде десятых стоит цифра 5, а у второго — 4.

Так как $5 > 4$, то первое число больше второго, вне зависимости от того, какие цифры следуют далее.

Следовательно, $6,542... > 6,452...$.

Ответ: $6,542... > 6,452...$

2) Сравним числа $-24,064...$ и $-24,165...$.

Для сравнения двух отрицательных чисел нужно сначала сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то отрицательное число, модуль которого меньше.

Сравним модули данных чисел: $|-24,064...| = 24,064...$ и $|-24,165...| = 24,165...$.

Сравниваем положительные числа $24,064...$ и $24,165...$ поразрядно.

Целые части равны: $24 = 24$.

Сравниваем разряд десятых. У первого числа в этом разряде стоит 0, а у второго — 1.

Так как $0 < 1$, то $24,064... < 24,165...$.

Поскольку модуль первого числа меньше модуля второго, то само первое отрицательное число больше второго.

Следовательно, $-24,064... > -24,165...$.

Ответ: $-24,064... > -24,165...$

474. Сравните:

1) $0,234...$ и $0,225...$ ;

2) $-1,333...$ и $-1,345...$ .

1) Сравнить $0,234...$ и $0,225...$

Чтобы сравнить две положительные десятичные дроби, необходимо сравнивать их цифры поразрядно слева направо. Сравнение прекращается, как только цифра в одном из разрядов одного числа окажется больше цифры в том же разряде другого числа. То число, у которого цифра больше, и будет большим.

Сравниваем целые части: $0 = 0$.

Сравниваем разряд десятых: $2 = 2$.

Сравниваем разряд сотых: $3 > 2$.

Поскольку цифра в разряде сотых у первого числа ($3$) больше, чем у второго ($2$), то первое число больше второго.

Ответ: $0,234... > 0,225...$

2) Сравнить $-1,333...$ и $-1,345...$

Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сначала сравнить их модули. Большим будет то отрицательное число, модуль которого меньше.

Найдем модули данных чисел:

$|-1,333...| = 1,333...$

$|-1,345...| = 1,345...$

Теперь сравним модули $1,333...$ и $1,345...$ поразрядно.

Сравниваем целые части: $1 = 1$.

Сравниваем разряд десятых: $3 = 3$.

Сравниваем разряд сотых: $3 < 4$.

Поскольку цифра в разряде сотых у первого модуля ($3$) меньше, чем у второго ($4$), то $1,333... < 1,345...$

Так как модуль числа $-1,333...$ меньше модуля числа $-1,345...$, то само число $-1,333...$ больше, чем $-1,345...$ (оно расположено правее на числовой оси).

Ответ: $-1,333... > -1,345...$

475. С помощью микрокалькулятора найдите приближённое значение числа $ \sqrt{3} $ с точностью до 0,01:

1) по недостатку,

2) по избытку.

Для решения этой задачи воспользуемся калькулятором, чтобы найти значение числа $\sqrt{3}$ с достаточным количеством знаков после запятой, а затем найдем его приближения по недостатку и по избытку с точностью до 0,01.

На калькуляторе получаем:

$\sqrt{3} \approx 1.7320508...$

1) по недостатку

Найти приближенное значение по недостатку с точностью до 0,01 означает найти число с двумя знаками после запятой, которое меньше исходного числа, но наиболее к нему близко. Для этого мы должны отбросить все цифры, следующие за разрядом сотых.

В числе $1.7320508...$ разряд сотых занимает цифра 3. Отбрасываем все последующие цифры (20508...).

Получаем число 1,73.

Это и есть приближенное значение $\sqrt{3}$ по недостатку с точностью до 0,01, так как выполняется неравенство $1.73 < \sqrt{3}$.

Ответ: 1,73.

2) по избытку

Найти приближенное значение по избытку с точностью до 0,01 означает найти число с двумя знаками после запятой, которое больше исходного числа, но наиболее к нему близко. Для этого нужно взять приближенное значение по недостатку и прибавить к нему 0,01.

Приближенное значение по недостатку равно 1,73.

Прибавляем 0,01: $1.73 + 0.01 = 1.74$.

Получаем число 1,74.

Это и есть приближенное значение $\sqrt{3}$ по избытку с точностью до 0,01, так как выполняется неравенство $\sqrt{3} < 1.74$.

Таким образом, значение $\sqrt{3}$ заключено между его приближениями по недостатку и по избытку: $1.73 < \sqrt{3} < 1.74$.

Ответ: 1,74.

476. С помощью микрокалькулятора найдите приближённое значение числа $\sqrt{5}$ с точностью до 0,01:

1) по недостатку;

2) по избытку.

Для решения этой задачи сначала найдем значение $\sqrt{5}$ с помощью микрокалькулятора с точностью, превышающей требуемую. Точность до 0,01 означает, что нам нужно рассматривать значение до сотых.

Вычисляем на калькуляторе:

$\sqrt{5} \approx 2,2360679...$

1) по недостатку

Найти приближенное значение по недостатку с точностью до 0,01 означает найти такое число с двумя знаками после запятой, которое меньше $\sqrt{5}$, но при этом максимально к нему приближено. Для этого мы просто отбрасываем все цифры после второго знака после запятой (сотых).

$\sqrt{5} \approx 2,2360679...$

Отбрасывая цифры после 3, получаем 2,23. Это и есть приближение по недостатку, так как $2,23 < \sqrt{5}$.

Ответ: 2,23

2) по избытку

Найти приближенное значение по избытку с точностью до 0,01 означает найти такое число с двумя знаками после запятой, которое больше $\sqrt{5}$, но при этом максимально к нему приближено. Для этого мы берем приближение по недостатку (2,23) и прибавляем к нему шаг точности, то есть 0,01.

$2,23 + 0,01 = 2,24$

Это и есть приближение по избытку, так как $2,24 > \sqrt{5}$ ($2,24 > 2,2360679...$).

Таким образом, мы получили два приближенных значения, между которыми находится точное значение $\sqrt{5}$:

$2,23 < \sqrt{5} < 2,24$

Ответ: 2,24

477. Укажите какое-нибудь значение a, при котором уравнение $x^2 = a$:

1) имеет два рациональных корня;

2) имеет два иррациональных корня;

3) не имеет корней.

1) имеет два рациональных корня;

Корни уравнения $x^2 = a$ даются формулой $x = \pm\sqrt{a}$. Чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы $a > 0$. Чтобы эти корни были рациональными, число $\sqrt{a}$ должно быть рациональным. Это возможно, если $a$ является полным квадратом некоторого рационального числа.
Возьмем в качестве примера $a = 9$. Число 9 является квадратом рационального числа 3.
Тогда уравнение примет вид: $x^2 = 9$.
Его корни: $x_1 = \sqrt{9} = 3$ и $x_2 = -\sqrt{9} = -3$.
Оба корня, 3 и -3, являются рациональными числами.
Ответ: $a=9$.

2) имеет два иррациональных корня;

Чтобы уравнение $x^2 = a$ имело два иррациональных корня, необходимо, чтобы $a$ было положительным числом ($a > 0$) и при этом не являлось квадратом какого-либо рационального числа. В этом случае $\sqrt{a}$ будет иррациональным числом.
Возьмем в качестве примера $a = 2$.
Тогда уравнение примет вид: $x^2 = 2$.
Его корни: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.
Числа $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$ являются иррациональными.
Ответ: $a=2$.

3) не имеет корней.

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Если в уравнении $x^2 = a$ правая часть $a$ будет отрицательным числом ($a < 0$), то равенство не сможет выполниться ни при каком действительном значении $x$. Следовательно, уравнение не будет иметь действительных корней.
Возьмем в качестве примера $a = -1$.
Уравнение примет вид: $x^2 = -1$.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы равен -1.
Ответ: $a=-1$.

478. Сравните числа:

1) $ \frac{43}{7} $ и 6,12;

2) $3,(24)$ и 3,24;

3) $\pi$ и $3,(14)$;

4) $-2,(36)$ и -2,36;

5) $7,(18)$ и $7,(17)$.

1) Для сравнения чисел $\frac{43}{7}$ и $6,12$ представим обыкновенную дробь в виде десятичной. Для этого разделим числитель на знаменатель:

$43 \div 7 = 6,1428...$

Теперь сравним полученную бесконечную периодическую дробь $6,1428...$ с конечной десятичной дробью $6,12$. Сравнение производим поразрядно, слева направо.

Целые части чисел равны: $6=6$.

Цифры в разряде десятых также равны: $1=1$.

Цифры в разряде сотых отличаются: у первого числа это $4$, у второго – $2$.

Так как $4 > 2$, то и число $6,1428...$ больше, чем $6,12$.

Следовательно, $\frac{43}{7} > 6,12$.

Ответ: $\frac{43}{7} > 6,12$.

2) Сравним числа $3,(24)$ и $3,24$.

Число $3,(24)$ – это бесконечная периодическая десятичная дробь, которую можно записать как $3,242424...$

Число $3,24$ – это конечная десятичная дробь, которую для удобства сравнения можно представить в виде бесконечной дроби с периодом ноль: $3,240000...$

Сравним числа $3,242424...$ и $3,240000...$ поразрядно.

Целые части и первые два знака после запятой (десятые и сотые) у них совпадают: $3,24 = 3,24$.

Сравним цифры в разряде тысячных: у первого числа это $2$, у второго – $0$.

Так как $2 > 0$, то $3,242424... > 3,240000...$

Следовательно, $3,(24) > 3,24$.

Ответ: $3,(24) > 3,24$.

3) Сравним число $\pi$ (пи) и $3,(14)$.

Число $\pi$ – иррациональное, его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью: $\pi \approx 3,14159265...$

Число $3,(14)$ – бесконечная периодическая десятичная дробь: $3,(14) = 3,14141414...$

Сравним эти два числа поразрядно.

Целые части и первые три знака после запятой (десятые, сотые, тысячные) у них совпадают: $3,141...$ и $3,141...$

Сравним цифры в разряде десятитысячных: у числа $\pi$ это $5$, а у числа $3,(14)$ это $4$.

Так как $5 > 4$, то $\pi > 3,(14)$.

Ответ: $\pi > 3,(14)$.

4) Сравним отрицательные числа $-2,(36)$ и $-2,36$.

Сначала сравним их модули (положительные значения): $2,(36)$ и $2,36$.

$2,(36) = 2,363636...$

$2,36 = 2,360000...$

Сравнивая поразрядно, видим, что до разряда тысячных цифры совпадают. В разряде тысячных у первого числа стоит $3$, а у второго – $0$.

Так как $3 > 0$, то $2,(36) > 2,36$.

При сравнении отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше. Поскольку $|-2,(36)| = 2,(36)$ и $|-2,36| = 2,36$, и мы установили, что $2,(36) > 2,36$, то, следовательно, $-2,(36) < -2,36$.

Ответ: $-2,(36) < -2,36$.

5) Сравним числа $7,(18)$ и $7,(17)$.

Число $7,(18)$ – это бесконечная периодическая дробь $7,181818...$

Число $7,(17)$ – это бесконечная периодическая дробь $7,171717...$

Сравним эти два числа поразрядно.

Целые части и цифры в разряде десятых у них совпадают: $7,1...$ и $7,1...$

Сравним цифры в разряде сотых: у первого числа это $8$, у второго – $7$.

Так как $8 > 7$, то $7,181818... > 7,171717...$

Следовательно, $7,(18) > 7,(17)$.

Ответ: $7,(18) > 7,(17)$.

479. Сравните числа:

1) $ \frac{1}{6} $ и 0,2;

2) $ \frac{7}{9} $ и 0,77;

3) $ -1,(645) $ и $ -1,(643) $.

1) Для сравнения чисел $\frac{1}{6}$ и $0,2$ приведем их к одному виду. Удобнее всего представить десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной.

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь сравним две дроби: $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{5}$. Чтобы их сравнить, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6 и 5 — это 30.

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$

Так как числитель первой дроби меньше числителя второй ($5 < 6$), то и сама дробь меньше: $\frac{5}{30} < \frac{6}{30}$.

Следовательно, $\frac{1}{6} < 0,2$.

Ответ: $\frac{1}{6} < 0,2$.

2) Для сравнения чисел $\frac{7}{9}$ и $0,77$ переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель 7 на знаменатель 9.

$\frac{7}{9} = 7 \div 9 = 0,777... = 0,(7)$

Теперь сравним две десятичные дроби: $0,(7)$ и $0,77$. Запишем их в развернутом виде для наглядности: $0,(7) = 0,7777...$, а $0,77 = 0,7700...$.

Начинаем поразрядное сравнение. Целые части равны 0. Разряды десятых и сотых также совпадают (оба равны 7). Различие появляется в разряде тысячных: у числа $0,777...$ это 7, а у числа $0,770...$ это 0. Поскольку $7 > 0$, то $0,777... > 0,770...$.

Следовательно, $\frac{7}{9} > 0,77$.

Ответ: $\frac{7}{9} > 0,77$.

3) Необходимо сравнить два отрицательных периодических числа: $-1,(645)$ и $-1,(643)$.

Для начала сравним их модули (положительные значения): $1,(645)$ и $1,(643)$. Запишем их в развернутом виде:

$1,(645) = 1,645645...$

$1,(643) = 1,643643...$

Проведем поразрядное сравнение. Целые части, а также цифры в разрядах десятых и сотых у этих чисел совпадают (1, 6 и 4 соответственно). Первое различие мы видим в разряде тысячных: у первого числа это 5, а у второго — 3. Так как $5 > 3$, то $1,(645) > 1,(643)$.

Вспомним правило сравнения отрицательных чисел: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Поскольку модуль числа $-1,(645)$ больше модуля числа $-1,(643)$, само число $-1,(645)$ будет меньше.

Таким образом, $-1,(645) < -1,(643)$.

Ответ: $-1,(645) < -1,(643)$.

480. Запишите в порядке убывания числа: $3,(16)$; $\pi$; $-1,82...$; $-0,08...$; $2,(136)$.

Для того чтобы записать данные числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему), необходимо их сравнить. Для этого представим каждое число в виде десятичной дроби, чтобы облегчить сравнение.

Рассмотрим данные числа:

• $3,(16)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая равна $3,161616...$
• $π$ (пи) — это иррациональное число, его приближенное значение равно $3,14159...$
• $-1,82...$ — это отрицательное число. Многоточие указывает на то, что десятичная часть продолжается.
• $-0,08...$ — это отрицательное число.
• $2,(136)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая равна $2,136136...$

Сравнение будем производить пошагово, разделив числа на положительные и отрицательные. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного.

Сначала упорядочим по убыванию положительные числа: $3,(16)$; $π$; $2,(136)$.
$3,(16) = 3,1616...$
$π ≈ 3,1415...$
$2,(136) = 2,1361...$
Сравнивая целые части, видим, что у чисел $3,(16)$ и $π$ она равна 3, а у числа $2,(136)$ — 2. Следовательно, $2,(136)$ является наименьшим из этих трех чисел.
Теперь сравним $3,(16)$ и $π$. Их целые части и десятые доли совпадают ($3,1...$). Сравним сотые доли: у числа $3,(16)$ это 6, а у числа $π$ — 4. Поскольку $6 > 4$, то $3,(16) > π$.
Таким образом, порядок убывания для положительных чисел следующий: $3,(16)$, $π$, $2,(136)$.

Теперь упорядочим по убыванию отрицательные числа: $-1,82...$; $-0,08...$.
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше (то есть то, которое на числовой оси расположено правее, ближе к нулю).
Сравним модули этих чисел: $|-0,08...| = 0,08...$ и $|-1,82...| = 1,82...$.
Так как $0,08... < 1,82...$, то $-0,08... > -1,82...$.
Порядок убывания для отрицательных чисел: $-0,08...$, $-1,82...$.

Объединив отсортированные группы, получим итоговую последовательность чисел в порядке убывания.

Ответ: $3,(16)$; $π$; $2,(136)$; $-0,08...$; $-1,82...$.

2,(130);

481. Запишите в порядке возрастания числа: 1,57; 1,571...; $\frac{\pi}{2}$; 1,(56); 1,(572).

Для того чтобы записать данные числа в порядке возрастания, необходимо привести их к одному виду — десятичной дроби, и затем сравнить их поразрядно.

Представим каждое число в виде десятичной дроби с достаточной для сравнения точностью:
1. $1,57$ — это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $1,570000...$
2. $1,571...$ — это число, которое начинается с цифр $1,571$.
3. $\frac{\pi}{2}$. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159265...$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57079632...$
4. $1,(56)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь $1,565656...$
5. $1,(572)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь $1,572572...$

Теперь выпишем все числа, представив их с достаточной для сравнения точностью, и приступим к сравнению:
$1,565656...$ (число $1,(56)$)
$1,570000...$ (число $1,57$)
$1,570796...$ (число $\frac{\pi}{2}$)
$1,571...$
$1,572572...$ (число $1,(572)$)

Проведем поразрядное сравнение:
- Сначала сравниваем цифры в разряде сотых. У числа $1,(56)$ в этом разряде стоит 6, а у всех остальных чисел — 7. Следовательно, $1,(56)$ является наименьшим числом в данном наборе.
- Теперь сравним оставшиеся четыре числа: $1,57$; $\frac{\pi}{2}$; $1,571...$; $1,(572)$. У всех них первые две цифры после запятой одинаковы (57). Сравним их по цифре в разряде тысячных:

• У $1,5700...$ это 0.
• У $1,5707...$ это 0.
• У $1,571...$ это 1.
• У $1,5725...$ это 2.

- Из этого сравнения видно, что $1,(572)$ (тысячная 2) больше, чем $1,571...$ (тысячная 1), которое в свою очередь больше, чем $1,57$ и $\frac{\pi}{2}$ (тысячная 0).
- Осталось сравнить $1,57$ и $\frac{\pi}{2}$. У них совпадают цифры вплоть до тысячных. Сравним их по разряду десятитысячных:
У $1,57 = 1,570\underline{0}...$ это 0.
У $\frac{\pi}{2} \approx 1,570\underline{7}...$ это 7.
Поскольку $0 < 7$, то $1,57 < \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, итоговая последовательность чисел в порядке возрастания: $1,(56) < 1,57 < \frac{\pi}{2} < 1,571... < 1,(572)$.

Ответ: $1,(56)$; $1,57$; $\frac{\pi}{2}$; $1,571...$; $1,(572)$.

482. Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел являются рациональными числами.

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — ненулевое целое число ($q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$).

Возьмем два произвольных рациональных числа, $a = \frac{m}{n}$ и $b = \frac{p}{q}$, где $m, p \in \mathbb{Z}$, а $n, q \in \mathbb{Z}$ и $n \neq 0, q \neq 0$. Проверим для них все четыре арифметические операции.

Сумма

Найдем сумму чисел $a$ и $b$, приведя дроби к общему знаменателю $nq$:
$a + b = \frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{mq}{nq} + \frac{np}{nq} = \frac{mq + np}{nq}$
Числитель полученной дроби, $mq + np$, является целым числом, так как $m, q, n, p$ — целые числа, а сумма и произведение целых чисел всегда дают целое число. Знаменатель $nq$ является целым числом и не равен нулю, так как $n \neq 0$ и $q \neq 0$. Таким образом, сумма $a+b$ представлена в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — ненулевое целое число, что соответствует определению рационального числа.

Ответ: Сумма двух рациональных чисел является рациональным числом.

Разность

Найдем разность чисел $a$ и $b$, также приведя дроби к общему знаменателю $nq$:
$a - b = \frac{m}{n} - \frac{p}{q} = \frac{mq}{nq} - \frac{np}{nq} = \frac{mq - np}{nq}$
Числитель $mq - np$ является целым числом, так как $m, q, n, p$ — целые, а разность и произведение целых чисел также являются целыми. Знаменатель $nq$ является ненулевым целым числом. Следовательно, разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Ответ: Разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Произведение

Найдем произведение чисел $a$ и $b$:
$a \cdot b = \frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q} = \frac{m \cdot p}{n \cdot q} = \frac{mp}{nq}$
Числитель $mp$ является целым числом (произведение двух целых). Знаменатель $nq$ является ненулевым целым числом, так как $n \neq 0$ и $q \neq 0$. Следовательно, произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Ответ: Произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Частное

Найдем частное от деления $a$ на $b$, при условии, что делитель $b$ не равен нулю ($b \neq 0$). Если $b = \frac{p}{q} \neq 0$, то это означает, что его числитель $p \neq 0$.
$a : b = \frac{m}{n} : \frac{p}{q} = \frac{m}{n} \cdot \frac{q}{p} = \frac{mq}{np}$
Числитель $mq$ является целым числом (произведение двух целых). Знаменатель $np$ является целым числом, и он не равен нулю, так как $n \neq 0$ и $p \neq 0$. Следовательно, частное двух рациональных чисел (при ненулевом делителе) является рациональным числом.

Ответ: Частное двух рациональных чисел является рациональным числом.

483. Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел является числом иррациональным.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть у нас есть рациональное число $a$ и иррациональное число $b$. Нам нужно доказать, что их сумма $c = a + b$ является иррациональным числом.

Предположим обратное: пусть сумма $c = a + b$ является рациональным числом.

Из равенства $c = a + b$ выразим иррациональное число $b$:

$b = c - a$

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), или, в более общем виде, $q$ - ненулевое целое число.

По нашему условию, $a$ — рациональное число. По нашему предположению, $c$ — также рациональное число. Известно, что разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Покажем это:

Пусть $a = \frac{p_1}{q_1}$ и $c = \frac{p_2}{q_2}$, где $p_1, q_1, p_2, q_2$ — целые числа, причем $q_1 \neq 0$ и $q_2 \neq 0$.

Тогда их разность:

$b = c - a = \frac{p_2}{q_2} - \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2 q_1 - p_1 q_2}{q_1 q_2}$

В полученном выражении числитель $(p_2 q_1 - p_1 q_2)$ является целым числом, так как операции умножения и вычитания над целыми числами дают в результате целое число. Знаменатель $(q_1 q_2)$ также является целым числом и не равен нулю, поскольку $q_1 \neq 0$ и $q_2 \neq 0$.

Следовательно, мы представили число $b$ в виде дроби, где числитель — целое, а знаменатель — ненулевое целое. Это по определению означает, что $b$ — рациональное число.

Однако это приводит к противоречию. По исходному условию, число $b$ является иррациональным. Наше предположение привело нас к выводу, что $b$ — рациональное. Одно и то же число не может быть одновременно и рациональным, и иррациональным.

Противоречие возникло из-за того, что наше первоначальное предположение было неверным. Значит, предположение о том, что сумма рационального и иррационального чисел может быть рациональной, ложно.

Таким образом, сумма рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано методом от противного. Если предположить, что сумма рационального и иррационального чисел рациональна, это приводит к противоречию, из которого следует, что исходное иррациональное число на самом деле рационально. Следовательно, сумма рационального и иррационального чисел должна быть иррациональной.