Номер 483, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 483, страница 122.

Условие.

483. Докажите, что сумма рационального и иррационального чисел является числом иррациональным.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть у нас есть рациональное число $a$ и иррациональное число $b$. Нам нужно доказать, что их сумма $c = a + b$ является иррациональным числом.

Предположим обратное: пусть сумма $c = a + b$ является рациональным числом.

Из равенства $c = a + b$ выразим иррациональное число $b$:

$b = c - a$

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), или, в более общем виде, $q$ - ненулевое целое число.

По нашему условию, $a$ — рациональное число. По нашему предположению, $c$ — также рациональное число. Известно, что разность двух рациональных чисел всегда является рациональным числом. Покажем это:

Пусть $a = \frac{p_1}{q_1}$ и $c = \frac{p_2}{q_2}$, где $p_1, q_1, p_2, q_2$ — целые числа, причем $q_1 \neq 0$ и $q_2 \neq 0$.

Тогда их разность:

$b = c - a = \frac{p_2}{q_2} - \frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2 q_1 - p_1 q_2}{q_1 q_2}$

В полученном выражении числитель $(p_2 q_1 - p_1 q_2)$ является целым числом, так как операции умножения и вычитания над целыми числами дают в результате целое число. Знаменатель $(q_1 q_2)$ также является целым числом и не равен нулю, поскольку $q_1 \neq 0$ и $q_2 \neq 0$.

Следовательно, мы представили число $b$ в виде дроби, где числитель — целое, а знаменатель — ненулевое целое. Это по определению означает, что $b$ — рациональное число.

Однако это приводит к противоречию. По исходному условию, число $b$ является иррациональным. Наше предположение привело нас к выводу, что $b$ — рациональное. Одно и то же число не может быть одновременно и рациональным, и иррациональным.

Противоречие возникло из-за того, что наше первоначальное предположение было неверным. Значит, предположение о том, что сумма рационального и иррационального чисел может быть рациональной, ложно.

Таким образом, сумма рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано методом от противного. Если предположить, что сумма рационального и иррационального чисел рациональна, это приводит к противоречию, из которого следует, что исходное иррациональное число на самом деле рационально. Следовательно, сумма рационального и иррационального чисел должна быть иррациональной.