Номер 479, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 479, страница 122.

Условие.

479. Сравните числа:

1) $ \frac{1}{6} $ и 0,2;

2) $ \frac{7}{9} $ и 0,77;

3) $ -1,(645) $ и $ -1,(643) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для сравнения чисел $\frac{1}{6}$ и $0,2$ приведем их к одному виду. Удобнее всего представить десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной.

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь сравним две дроби: $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{5}$. Чтобы их сравнить, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 6 и 5 — это 30.

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{30}$

Так как числитель первой дроби меньше числителя второй ($5 < 6$), то и сама дробь меньше: $\frac{5}{30} < \frac{6}{30}$.

Следовательно, $\frac{1}{6} < 0,2$.

Ответ: $\frac{1}{6} < 0,2$.

2) Для сравнения чисел $\frac{7}{9}$ и $0,77$ переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого разделим числитель 7 на знаменатель 9.

$\frac{7}{9} = 7 \div 9 = 0,777... = 0,(7)$

Теперь сравним две десятичные дроби: $0,(7)$ и $0,77$. Запишем их в развернутом виде для наглядности: $0,(7) = 0,7777...$, а $0,77 = 0,7700...$.

Начинаем поразрядное сравнение. Целые части равны 0. Разряды десятых и сотых также совпадают (оба равны 7). Различие появляется в разряде тысячных: у числа $0,777...$ это 7, а у числа $0,770...$ это 0. Поскольку $7 > 0$, то $0,777... > 0,770...$.

Следовательно, $\frac{7}{9} > 0,77$.

Ответ: $\frac{7}{9} > 0,77$.

3) Необходимо сравнить два отрицательных периодических числа: $-1,(645)$ и $-1,(643)$.

Для начала сравним их модули (положительные значения): $1,(645)$ и $1,(643)$. Запишем их в развернутом виде:

$1,(645) = 1,645645...$

$1,(643) = 1,643643...$

Проведем поразрядное сравнение. Целые части, а также цифры в разрядах десятых и сотых у этих чисел совпадают (1, 6 и 4 соответственно). Первое различие мы видим в разряде тысячных: у первого числа это 5, а у второго — 3. Так как $5 > 3$, то $1,(645) > 1,(643)$.

Вспомним правило сравнения отрицательных чисел: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Поскольку модуль числа $-1,(645)$ больше модуля числа $-1,(643)$, само число $-1,(645)$ будет меньше.

Таким образом, $-1,(645) < -1,(643)$.

Ответ: $-1,(645) < -1,(643)$.