Номер 472, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 472, страница 122.

Условие.

472. Какие из данных бесконечных дробей являются записями рациональных чисел, а какие — иррациональных:

1) $0,\overline{3}$;

2) $0,4\overline{32}$;

3) $0,20200200020\dots$ (количество нулей между соседними двойками последовательно увеличивается на 1)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы определить, какие из данных бесконечных дробей являются записями рациональных чисел, а какие — иррациональных, необходимо вспомнить определения этих чисел.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Десятичная запись рационального числа всегда является либо конечной, либо бесконечной периодической дробью.

Иррациональное число — это число, которое нельзя представить в виде обыкновенной дроби. Десятичная запись иррационального числа является бесконечной непериодической дробью.

1) 0,(3);

Данная дробь $0,(3) = 0,333...$ является бесконечной периодической десятичной дробью, где цифра '3' является периодом. Любую бесконечную периодическую дробь можно преобразовать в обыкновенную, следовательно, она является рациональным числом.

Проведем преобразование:

Пусть $x = 0,(3)$.

Тогда $10x = 3,(3)$.

Вычтем из второго равенства первое:

$10x - x = 3,(3) - 0,(3)$

$9x = 3$

$x = 3/9 = 1/3$

Поскольку число можно представить в виде дроби 1/3, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

2) 0,4(32);

Данная дробь $0,4(32) = 0,4323232...$ является смешанной бесконечной периодической дробью. Здесь '4' — это предпериод, а '32' — период. Такие дроби также всегда являются рациональными числами.

Проведем преобразование в обыкновенную дробь:

Пусть $x = 0,4(32)$.

Умножим на 10, чтобы выделить непериодическую часть:

$10x = 4,(32) = 4,323232...$

Умножим на 1000, чтобы сдвинуть один период влево:

$1000x = 432,(32) = 432,323232...$

Вычтем из второго полученного равенства первое:

$1000x - 10x = 432,(32) - 4,(32)$

$990x = 428$

$x = 428/990 = 214/495$

Поскольку число можно представить в виде дроби 214/495, оно является рациональным.

Ответ: рациональное число.

3) 0,20200200020... (количество нулей между соседними двойками последовательно увеличивается на 1)

Эта дробь является бесконечной. Проанализируем ее на периодичность. Последовательность цифр выглядит так: 202002000200002...

Мы видим, что количество нулей между двойками постоянно увеличивается на единицу. Это означает, что в последовательности цифр нет повторяющегося блока (периода). Если бы период существовал, то последовательность цифр, составляющая его, должна была бы повторяться бесконечно, но здесь структура записи постоянно меняется.

Так как это бесконечная непериодическая дробь, она является записью иррационального числа.

Ответ: иррациональное число.