Номер 470, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Упражнения - номер 470, страница 121.

Условие.

470. Верно ли утверждение:

1) $0 \in \boldsymbol{N};$

2) $0 \notin \boldsymbol{Z};$

3) $0 \in \boldsymbol{R};$

4) $-\frac{3}{7} \in \boldsymbol{Q};$

5) $-\frac{3}{7} \notin \boldsymbol{R};$

6) $\sqrt{9} \in \boldsymbol{Q};$

7) $\sqrt{9} \in \boldsymbol{Z};$

8) $\sqrt{9} \in \boldsymbol{R}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $0 \in N$
Данное утверждение гласит, что 0 принадлежит множеству натуральных чисел. Множество натуральных чисел $N$ используется для счета предметов и, в соответствии со стандартом, принятым в российских школах, включает в себя целые положительные числа, начиная с 1: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Ноль не является натуральным числом в этой системе. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

2) $0 \notin Z$
Это утверждение означает, что 0 не принадлежит множеству целых чисел. Множество целых чисел $Z$ включает в себя все натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. По определению, 0 является целым числом. Таким образом, утверждение, что 0 не является целым числом, ложно.
Ответ: неверно.

3) $0 \in R$
Утверждается, что 0 принадлежит множеству действительных чисел. Множество действительных (или вещественных) чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Поскольку множество целых чисел $Z$ является подмножеством множества действительных чисел ($Z \subset R$), и $0 \in Z$, то 0 также принадлежит и множеству действительных чисел. Утверждение верно.
Ответ: верно.

4) $-\frac{3}{7} \in Q$
Утверждение гласит, что число $-\frac{3}{7}$ принадлежит множеству рациональных чисел. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — целое ненулевое число ($n \in Z, n \neq 0$). Число $-\frac{3}{7}$ является именно такой дробью, где $m = -3$ и $n = 7$. Следовательно, это рациональное число. Утверждение верно.
Ответ: верно.

5) $-\frac{3}{7} \notin R$
Данное утверждение гласит, что число $-\frac{3}{7}$ не принадлежит множеству действительных чисел. Множество действительных чисел $R$ содержит в себе все рациональные числа $Q$. Как мы установили в предыдущем пункте, $-\frac{3}{7}$ — это рациональное число. Значит, оно также является и действительным числом. Утверждение, что $-\frac{3}{7}$ не принадлежит $R$, является ложным.
Ответ: неверно.

6) $\sqrt{9} \in Q$
Для проверки этого утверждения сначала вычислим значение $\sqrt{9}$. Арифметический квадратный корень из 9 равен 3. Таким образом, утверждение эквивалентно $3 \in Q$. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $3 = \frac{3}{1}$. Это соответствует определению рационального числа. Утверждение верно.
Ответ: верно.

7) $\sqrt{9} \in Z$
Сначала вычислим $\sqrt{9} = 3$. Утверждение можно переписать как $3 \in Z$. Множество целых чисел $Z$ содержит все натуральные числа, включая 3. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

8) $\sqrt{9} \in R$
Вычислим $\sqrt{9} = 3$. Утверждение принимает вид $3 \in R$. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все целые числа. Поскольку 3 является целым числом, оно также является и действительным числом. Утверждение верно.
Ответ: верно.