Номер 6, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Вопросы. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 6, страница 121.
№6 (с. 121)
Условие. №6 (с. 121)
скриншот условия

6. Как связаны между собой рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби?
Решение 2. №6 (с. 121)

Решение 8. №6 (с. 121)
Связь между рациональными числами и бесконечными периодическими десятичными дробями является фундаментальным свойством чисел. Эта связь представляет собой полное соответствие: любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби, и наоборот, любая бесконечная периодическая десятичная дробь является представлением некоторого рационального числа.
Рассмотрим эту связь подробнее в двух направлениях.
1. Преобразование рационального числа в десятичную дробь.
Рациональное число по определению — это число, которое можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Чтобы преобразовать такую дробь в десятичную, нужно разделить числитель $m$ на знаменатель $n$ столбиком. При делении на число $n$ возможны ровно $n$ различных остатков: $0, 1, 2, ..., n-1$. В процессе деления столбиком возникает две возможные ситуации:
- Остаток становится равным нулю. В этом случае деление заканчивается, и мы получаем конечную десятичную дробь. Например, $3/8 = 0.375$. Конечную десятичную дробь можно считать частным случаем бесконечной периодической, у которой период равен 0. То есть, $0.375 = 0.375000... = 0.375(0)$.
- Остаток никогда не становится равным нулю. Поскольку количество возможных ненулевых остатков ограничено ($n-1$ вариантов), на каком-то шаге деления один из остатков обязательно повторится. Как только остаток повторяется, последовательность цифр в частном также начинает повторяться. Так образуется бесконечная периодическая десятичная дробь. Например, при делении 1 на 3 мы получаем $0.333...$ (пишется как $0.(3)$). При делении 4 на 11 получаем $0.363636...$ (пишется как $0.(36)$).
Таким образом, любое рациональное число представляется либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.
2. Преобразование бесконечной периодической десятичной дроби в рациональное число.
Любую бесконечную периодическую дробь можно преобразовать обратно в обыкновенную дробь $m/n$ с помощью простого алгебраического метода. Разберем на примерах.
- Чистая периодическая дробь (период начинается сразу после запятой).
Пусть $x = 0.(18) = 0.181818...$. В периоде 2 цифры. Умножим $x$ на $10^2 = 100$:
$100x = 18.181818...$
Вычтем из этого уравнения исходное:
$100x - x = 18.181818... - 0.181818...$
$99x = 18$
$x = 18/99 = 2/11$.
Полученное число $2/11$ является рациональным. - Смешанная периодическая дробь (между запятой и периодом есть цифры).
Пусть $y = 0.2(5) = 0.2555...$. Сначала умножим число на $10$ так, чтобы "освободить" период:
$10y = 2.555... = 2.(5)$
Теперь применим метод для чистой периодической дроби к числу $10y$. Пусть $z = 10y$. В периоде 1 цифра, умножим на $10^1 = 10$:
$10z = 25.555...$
$10z - z = 25.555... - 2.555...$
$9z = 23$
$z = 23/9$
Поскольку $z=10y$, то $10y = 23/9$, откуда $y = 23/90$.
Полученное число $23/90$ является рациональным.
Этот метод применим к любой бесконечной периодической дроби, что доказывает, что все они являются рациональными числами.
Ответ: Рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби — это два разных способа представления одного и того же множества чисел. Каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби (где конечные дроби рассматриваются как дроби с периодом 0), и каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа. Иными словами, это взаимно однозначное соответствие.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 6 расположенного на странице 121 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6 (с. 121), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.