Номер 6, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 6, страница 121.

Условие.

6. Как связаны между собой рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби?

Решение 2.

Решение 8.

Связь между рациональными числами и бесконечными периодическими десятичными дробями является фундаментальным свойством чисел. Эта связь представляет собой полное соответствие: любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби, и наоборот, любая бесконечная периодическая десятичная дробь является представлением некоторого рационального числа.

Рассмотрим эту связь подробнее в двух направлениях.

1. Преобразование рационального числа в десятичную дробь.
Рациональное число по определению — это число, которое можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Чтобы преобразовать такую дробь в десятичную, нужно разделить числитель $m$ на знаменатель $n$ столбиком. При делении на число $n$ возможны ровно $n$ различных остатков: $0, 1, 2, ..., n-1$. В процессе деления столбиком возникает две возможные ситуации:

• Остаток становится равным нулю. В этом случае деление заканчивается, и мы получаем конечную десятичную дробь. Например, $3/8 = 0.375$. Конечную десятичную дробь можно считать частным случаем бесконечной периодической, у которой период равен 0. То есть, $0.375 = 0.375000... = 0.375(0)$.
• Остаток никогда не становится равным нулю. Поскольку количество возможных ненулевых остатков ограничено ($n-1$ вариантов), на каком-то шаге деления один из остатков обязательно повторится. Как только остаток повторяется, последовательность цифр в частном также начинает повторяться. Так образуется бесконечная периодическая десятичная дробь. Например, при делении 1 на 3 мы получаем $0.333...$ (пишется как $0.(3)$). При делении 4 на 11 получаем $0.363636...$ (пишется как $0.(36)$).

Таким образом, любое рациональное число представляется либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.

2. Преобразование бесконечной периодической десятичной дроби в рациональное число.
Любую бесконечную периодическую дробь можно преобразовать обратно в обыкновенную дробь $m/n$ с помощью простого алгебраического метода. Разберем на примерах.

• Чистая периодическая дробь (период начинается сразу после запятой).
  Пусть $x = 0.(18) = 0.181818...$. В периоде 2 цифры. Умножим $x$ на $10^2 = 100$:
  $100x = 18.181818...$
  Вычтем из этого уравнения исходное:
  $100x - x = 18.181818... - 0.181818...$
  $99x = 18$
  $x = 18/99 = 2/11$.
  Полученное число $2/11$ является рациональным.
• Смешанная периодическая дробь (между запятой и периодом есть цифры).
  Пусть $y = 0.2(5) = 0.2555...$. Сначала умножим число на $10$ так, чтобы "освободить" период:
  $10y = 2.555... = 2.(5)$
  Теперь применим метод для чистой периодической дроби к числу $10y$. Пусть $z = 10y$. В периоде 1 цифра, умножим на $10^1 = 10$:
  $10z = 25.555...$
  $10z - z = 25.555... - 2.555...$
  $9z = 23$
  $z = 23/9$
  Поскольку $z=10y$, то $10y = 23/9$, откуда $y = 23/90$.
  Полученное число $23/90$ является рациональным.

Этот метод применим к любой бесконечной периодической дроби, что доказывает, что все они являются рациональными числами.

Ответ: Рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби — это два разных способа представления одного и того же множества чисел. Каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби (где конечные дроби рассматриваются как дроби с периодом 0), и каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа. Иными словами, это взаимно однозначное соответствие.