Номер 467, страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 467, страница 116.

Условие.

467. Попарно различные числа $a, b, c$ удовлетворяют условию $a^2(b+c) = b^2(c+a)$. Докажите, что $a^2(b+c) = c^2(a+b)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

По условию задачи даны попарно различные числа $a$, $b$, $c$ (то есть $a \neq b$, $a \neq c$, $b \neq c$), для которых выполняется равенство:

$a^2(b + c) = b^2(c + a)$

Преобразуем это равенство. Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть уравнения:

$a^2b + a^2c - b^2c - b^2a = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(a^2b - b^2a) + (a^2c - b^2c) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ab(a - b) + c(a^2 - b^2) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ ко второму слагаемому:

$ab(a - b) + c(a - b)(a + b) = 0$

Теперь мы можем вынести за скобку общий множитель $(a - b)$:

$(a - b)(ab + c(a + b)) = 0$

Раскрыв внутренние скобки, получаем:

$(a - b)(ab + ac + bc) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. По условию, числа $a$ и $b$ различны, следовательно, $a - b \neq 0$. Значит, равенство может выполняться только в том случае, если второй множитель равен нулю:

$ab + bc + ca = 0$

Мы получили ключевое соотношение, которое следует из начального условия. Теперь, используя это соотношение, докажем требуемое равенство. Нам нужно доказать, что $a^2(b + c) = c^2(a + b)$. Мы покажем, что оба эти выражения, а также исходное $b^2(c + a)$, равны одной и той же величине.

Из соотношения $ab + bc + ca = 0$ выразим суммы в скобках:

• $bc = -ab - ca \implies bc = -a(b+c) \implies a(b+c) = -bc$
• $ca = -ab - bc \implies ca = -b(a+c) \implies b(c+a) = -ca$
• $ab = -bc - ca \implies ab = -c(b+a) \implies c(a+b) = -ab$

Подставим эти выражения в левые части равенств, которые мы рассматриваем:

1. $a^2(b+c) = a \cdot [a(b+c)] = a(-bc) = -abc$

2. $b^2(c+a) = b \cdot [b(c+a)] = b(-ca) = -abc$

3. $c^2(a+b) = c \cdot [c(a+b)] = c(-ab) = -abc$

Так как все три выражения равны $-abc$, они равны между собой. Таким образом, из $a^2(b + c) = b^2(c + a)$ следует, что $a^2(b + c) = c^2(a + b)$.

Ответ: Из данного равенства $a^2(b + c) = b^2(c + a)$ и условия, что числа $a, b, c$ попарно различны, следует ключевое соотношение $ab + bc + ca = 0$. Используя это соотношение, можно показать, что каждое из выражений $a^2(b+c)$, $b^2(c+a)$ и $c^2(a+b)$ равно $-abc$. Таким образом, все три выражения равны между собой, что и требовалось доказать.