Номер 466, страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 466, страница 116.

Условие.

466. Преобразуйте обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и определите её период:

1) $\frac{5}{6}$;

2) $\frac{11}{15}$;

3) $\frac{9}{11}$;

4) $\frac{31}{33}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1) Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, необходимо разделить её числитель на знаменатель. Для дроби $\frac{5}{6}$ выполним деление 5 на 6.

Так как 5 меньше 6, целая часть десятичной дроби равна 0. Делим 50 на 6, получаем 8 в частном и 2 в остатке ($6 \times 8 = 48$). Далее делим 20 на 6, получаем 3 в частном и 2 в остатке ($6 \times 3 = 18$). Поскольку остаток 2 начал повторяться, цифра 3 в частном также будет повторяться бесконечно.
Процесс деления: $5 \div 6 = 0,8333...$
Полученную бесконечную дробь записывают в виде $0,8(3)$. Цифра, стоящая в скобках, называется периодом дроби.

Ответ: $0,8(3)$, период 3.

2) Преобразуем дробь $\frac{11}{15}$, разделив числитель 11 на знаменатель 15.

Целая часть равна 0. Делим 110 на 15, получаем 7 в частном и 5 в остатке ($15 \times 7 = 105$). Затем делим 50 на 15, получаем 3 в частном и 5 в остатке ($15 \times 3 = 45$). Остаток 5 начинает повторяться, следовательно, цифра 3 в частном будет повторяться бесконечно.
Процесс деления: $11 \div 15 = 0,7333...$
Запись в виде периодической дроби: $0,7(3)$. Период этой дроби — 3.

Ответ: $0,7(3)$, период 3.

3) Преобразуем дробь $\frac{9}{11}$, разделив 9 на 11.

Целая часть равна 0. Делим 90 на 11, получаем 8 в частном и 2 в остатке ($11 \times 8 = 88$). Затем делим 20 на 11, получаем 1 в частном и 9 в остатке ($11 \times 1 = 11$). Так как остаток 9 — это исходный числитель, то последовательность цифр в частном начнет повторяться.
Процесс деления: $9 \div 11 = 0,8181...$
Получаем чистую периодическую дробь $0,(81)$. Период дроби — это повторяющаяся группа цифр, то есть 81.

Ответ: $0,(81)$, период 81.

4) Преобразуем дробь $\frac{31}{33}$, разделив 31 на 33.

Целая часть равна 0. Делим 310 на 33, получаем 9 в частном и 13 в остатке ($33 \times 9 = 297$). Затем делим 130 на 33, получаем 3 в частном и 31 в остатке ($33 \times 3 = 99$). Так как остаток 31 — это исходный числитель, частное начнет повторяться.
Процесс деления: $31 \div 33 = 0,9393...$
Получаем чистую периодическую дробь $0,(93)$. Период этой дроби равен 93.

Ответ: $0,(93)$, период 93.