Номер 5, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 5, страница 121.

Условие.

5. В виде какого отношения можно представить каждое рациональное число?

Решение 2.

Решение 8.

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби. Такая дробь является отношением (результатом деления) одного числа на другое.

Формально, любое рациональное число $q$ можно представить в виде отношения: $q = \frac{m}{n}$

В этом отношении числитель $m$ является целым числом (может быть положительным, отрицательным или нулём), а знаменатель $n$ является натуральным числом (то есть целым положительным числом, не равным нулю).

На языке математики это записывается так: $m \in \mathbb{Z}$ (где $\mathbb{Z}$ — множество всех целых чисел) и $n \in \mathbb{N}$ (где $\mathbb{N}$ — множество всех натуральных чисел). Иногда используется эквивалентное определение, где $n$ — любое целое число, не равное нулю ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$).

Рассмотрим несколько примеров представления различных чисел в виде такого отношения:

Целое число: любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, $7 = \frac{7}{1}$.

Отрицательное целое число: аналогично, $-5 = \frac{-5}{1}$.

Обыкновенная дробь: число $\frac{3}{8}$ уже представлено в требуемом виде, где $m=3$ и $n=8$.

Конечная десятичная дробь: например, $0.45$ можно записать как $\frac{45}{100}$, что после сокращения даёт $\frac{9}{20}$.

Смешанное число: например, $2\frac{1}{3}$ преобразуется в неправильную дробь $\frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Периодическая десятичная дробь: например, $0.(6) = 0.666...$ равна дроби $\frac{2}{3}$.

Таким образом, все эти типы чисел являются рациональными, так как их можно представить в виде отношения целого числа к натуральному.

Ответ: Каждое рациональное число можно представить в виде отношения $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).