Номер 469, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Упражнения - номер 469, страница 121.

Условие.

469. Верно ли утверждение:

1) $1 \in N;$

2) $1 \in Z;$

3) $1 \in Q;$

4) $1 \in R;$

5) $-2,3 \in N;$

6) $-2,3 \in R;$

7) $\sqrt{7} \notin R;$

8) $\sqrt{121} \notin R;$

9) $\frac{\pi}{3} \in R?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи необходимо определить, к каким множествам чисел принадлежат указанные значения.

• $N$ — множество натуральных чисел $\{1, 2, 3, \dots\}$.
• $Z$ — множество целых чисел $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$.
• $Q$ — множество рациональных чисел (числа, представимые в виде дроби $p/q$, где $p \in Z$, $q \in N$).
• $R$ — множество действительных чисел (включает рациональные и иррациональные числа).

Проверим каждое утверждение:

1) $1 \in N$

Множество натуральных чисел $N$ — это числа, используемые при счете: $1, 2, 3, \dots$. Число 1 является первым натуральным числом. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

2) $1 \in Z$

Множество целых чисел $Z$ включает в себя все натуральные числа, им противоположные и ноль: $\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$. Так как 1 является натуральным числом, оно также является и целым числом. Утверждение верно.

Ответ: верно.

3) $1 \in Q$

Множество рациональных чисел $Q$ — это числа, которые можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Число 1 можно представить как дробь, например, $1/1$. Значит, 1 — рациональное число. Утверждение верно.

Ответ: верно.

4) $1 \in R$

Множество действительных (или вещественных) чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Поскольку 1 является рациональным числом, оно также входит в множество действительных чисел. Утверждение верно.

Ответ: верно.

5) $-2,3 \in N$

Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \dots$). Число $-2,3$ является отрицательным и дробным, поэтому оно не принадлежит множеству натуральных чисел. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

6) $-2,3 \in R$

Число $-2,3$ является конечной десятичной дробью. Его можно представить в виде обыкновенной дроби $-23/10$, что означает, что это рациональное число. Все рациональные числа являются действительными. Следовательно, $-2,3$ принадлежит множеству действительных чисел $R$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

7) $\sqrt{7} \notin R$

Число $\sqrt{7}$ является иррациональным, так как 7 не является точным квадратом целого числа. Множество действительных чисел $R$ состоит из рациональных и иррациональных чисел. Таким образом, $\sqrt{7}$ является действительным числом, то есть $\sqrt{7} \in R$. Утверждение, что $\sqrt{7}$ не принадлежит $R$, неверно.

Ответ: неверно.

8) $\sqrt{121} \notin R$

Вычислим значение корня: $\sqrt{121} = 11$. Число 11 является натуральным, целым, рациональным и, следовательно, действительным числом. Таким образом, $\sqrt{121} \in R$. Утверждение, что $\sqrt{121}$ не принадлежит множеству действительных чисел, неверно.

Ответ: неверно.

9) $\frac{\pi}{3} \in R$?

Число $\pi$ является иррациональным. При делении иррационального числа на ненулевое рациональное число (в данном случае на 3) результат также является иррациональным числом. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все иррациональные числа. Следовательно, $\frac{\pi}{3}$ принадлежит множеству действительных чисел. Утверждение верно.

Ответ: верно.