Номер 10, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 10, страница 121.

Условие.

10. Как взаимосвязаны числовые множества $N, Z, Q$ и $R$?

Решение 2.

Решение 8.

Числовые множества N, Z, Q и R связаны между собой отношением вложенности, где каждое последующее множество включает в себя все элементы предыдущего, расширяя его. Эту иерархическую взаимосвязь можно представить в виде цепочки строгих включений: $N \subset Z \subset Q \subset R$.

N - Множество натуральных чисел

Это множество чисел, которые используются при счете предметов: $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$. Натуральные числа являются основой для построения всех остальных числовых множеств.

Z - Множество целых чисел

Это множество является расширением множества натуральных чисел. Оно включает в себя все натуральные числа, им противоположные отрицательные числа, а также ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Поскольку любое натуральное число является и целым, множество N является собственным подмножеством множества Z. Математически это записывается как $N \subset Z$.

Q - Множество рациональных чисел

Это множество расширяет множество целых чисел. Рациональными называются числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число ($m \in Z$), а знаменатель $n$ — натуральное число ($n \in N$). Это множество включает в себя все целые числа (так как любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $\frac{z}{1}$), а также все конечные и бесконечные периодические десятичные дроби. Следовательно, множество Z является собственным подмножеством множества Q: $Z \subset Q$.

R - Множество действительных (или вещественных) чисел

Это множество является самым широким из перечисленных и расширяет множество рациональных чисел. Оно объединяет в себе все рациональные и иррациональные числа. Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ (например, $\pi \approx 3.14159...$, $e \approx 2.71828...$, $\sqrt{2} \approx 1.41421...$). Они выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Множество R полностью заполняет числовую прямую. Таким образом, любое рациональное число является действительным, и множество Q является собственным подмножеством множества R: $Q \subset R$.

Таким образом, общая взаимосвязь представляет собой строгую иерархию вложенных множеств, которая наглядно демонстрирует, как понятие числа исторически и логически развивалось и усложнялось.

Ответ: Числовые множества N (натуральные), Z (целые), Q (рациональные) и R (действительные) связаны отношением строгого включения: $N \subset Z \subset Q \subset R$. Это означает, что любое натуральное число является целым, любое целое — рациональным, а любое рациональное — действительным, но обратное не всегда верно.