Номер 8, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Вопросы - номер 8, страница 121.

Условие.

8. Объединение каких множеств образует множество действительных чисел?

Решение 2.

Решение 8.

Множество действительных чисел, обозначаемое символом $\mathbb{R}$, представляет собой совокупность всех чисел, которые можно отметить на бесконечной числовой прямой. Оно формируется путем объединения двух фундаментальных и непересекающихся множеств чисел.

Множество рациональных чисел ($\mathbb{Q}$)

Это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Рациональные числа включают в себя:
• Целые числа: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... (например, $5 = \frac{5}{1}$).
• Конечные десятичные дроби: например, $0.75 = \frac{3}{4}$.
• Бесконечные периодические десятичные дроби: например, $0.(3) = 0.333... = \frac{1}{3}$.

Множество иррациональных чисел ($\mathbb{I}$)

Это действительные числа, которые нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим. Классическими примерами иррациональных чисел являются:
• Число $\pi$ (пи), равное отношению длины окружности к её диаметру ($\pi \approx 3.14159...$).
• Число $e$ (основание натурального логарифма, число Эйлера) ($e \approx 2.71828...$).
• Квадратные корни из чисел, не являющихся полными квадратами, например, $\sqrt{2} \approx 1.41421...$ или $\sqrt{3} \approx 1.73205...$.

Объединение этих двух множеств покрывает всю числовую прямую без пробелов. Любое действительное число является либо рациональным, либо иррациональным, и не может быть одновременно и тем, и другим. Математически это выражается формулой объединения множеств:

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

где $\mathbb{R}$ — множество действительных чисел, $\mathbb{Q}$ — множество рациональных чисел, а $\mathbb{I}$ — множество иррациональных чисел.

Ответ: Множество действительных чисел является объединением множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел.