Номер 3, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 3, страница 121.

Условие.

3. Какие числа образуют множество рациональных чисел?

Решение 2.

Решение 8.

Множество рациональных чисел, обозначаемое символом $Q$, — это совокупность всех чисел, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$.

В этой дроби должны выполняться следующие условия:

• Числитель $m$ должен быть целым числом (принадлежать множеству $Z$, то есть $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$).
• Знаменатель $n$ должен быть натуральным числом (принадлежать множеству $N$, то есть $N = \{1, 2, 3, ...\}$). Знаменатель не может быть равен нулю.

Формальное определение множества рациональных чисел выглядит так: $Q = \{ \frac{m}{n} \mid m \in Z, n \in N \}$.

Слово «рациональное» происходит от латинского ratio, что означает «отношение» или «деление», что точно отражает суть этих чисел.

Рассмотрим, какие конкретно виды чисел входят в это множество.

1. Целые числа

Любое целое число (положительное, отрицательное или ноль) является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

Примеры:
$5 = \frac{5}{1}$
$-12 = \frac{-12}{1}$
$0 = \frac{0}{1}$

2. Обыкновенные и смешанные дроби

Все числа, которые изначально записаны в виде дроби (например, $\frac{3}{4}$, $\frac{9}{5}$), по определению являются рациональными. Смешанные числа (например, $2\frac{1}{3}$) также входят в это множество, поскольку их легко перевести в неправильную дробь ($2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$).

3. Конечные десятичные дроби

Любое число с конечным количеством знаков после запятой является рациональным, так как его всегда можно представить в виде дроби, знаменатель которой — это степень числа 10 (10, 100, 1000 и т.д.).

Примеры:
$0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$
$-1.6 = -\frac{16}{10} = -\frac{8}{5}$

4. Бесконечные периодические десятичные дроби

Это ключевой признак рациональных чисел. Если десятичное представление числа бесконечно, но в нём есть повторяющаяся последовательность цифр (период), то такое число является рациональным. Любое рациональное число может быть представлено либо конечной, либо периодической десятичной дробью.

Примеры:
$0.333... = 0.(3) = \frac{1}{3}$
$1.272727... = 1.(27) = \frac{126}{99} = \frac{14}{11}$
$0.58333... = 0.58(3) = \frac{7}{12}$

Числа, десятичное представление которых бесконечно и непериодично (например, $\pi \approx 3.14159...$ или $\sqrt{2} \approx 1.41421...$), называются иррациональными и не входят в множество рациональных чисел.

Ответ: Множество рациональных чисел образуют все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. К ним относятся все целые числа, обыкновенные дроби, а также конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.