Номер 471, страница 121 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Упражнения - номер 471, страница 121.

Условие.

471. Истинным или ложным является высказывание:

1) любое натуральное число ($\mathbb{N}$) является целым ($\mathbb{Z}$);

2) любое натуральное число ($\mathbb{N}$) является рациональным ($\mathbb{Q}$);

3) любое натуральное число ($\mathbb{N}$) является действительным ($\mathbb{R}$);

4) любое рациональное число ($\mathbb{Q}$) является целым ($\mathbb{Z}$);

5) любое действительное число ($\mathbb{R}$) является рациональным ($\mathbb{Q}$);

6) любое рациональное число ($\mathbb{Q}$) является действительным ($\mathbb{R}$);

7) любое иррациональное число ($\mathbb{I}$) является действительным ($\mathbb{R}$);

8) любое действительное число ($\mathbb{R}$) является рациональным ($\mathbb{Q}$) или иррациональным ($\mathbb{I}$)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) любое натуральное число является целым
Данное высказывание является истинным. Множество натуральных чисел ($\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$) используется для счета предметов. Множество целых чисел ($\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$) включает в себя все натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль. Таким образом, любое натуральное число является частью множества целых чисел, то есть является целым числом. Математически это записывается как $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
Ответ: Истинно

2) любое натуральное число является рациональным
Данное высказывание является истинным. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($\mathbb{Z}$), а $n$ — натуральное число ($\mathbb{N}$). Любое натуральное число $k$ можно представить в виде дроби $\frac{k}{1}$. Поскольку $k$ является целым числом и 1 является натуральным числом, то любое натуральное число удовлетворяет определению рационального числа. Таким образом, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$.
Ответ: Истинно

3) любое натуральное число является действительным
Данное высказывание является истинным. Множество действительных (или вещественных) чисел ($\mathbb{R}$) объединяет в себе все рациональные и иррациональные числа. Так как мы уже установили, что любое натуральное число является рациональным, а все рациональные числа являются действительными ($\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$), то отсюда следует, что и любое натуральное число является действительным ($\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$).
Ответ: Истинно

4) любое рациональное число является целым
Данное высказывание является ложным. Это обратное утверждение к тому, что любое целое является рациональным ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$), и оно неверно. Для опровержения достаточно привести контрпример. Например, число $\frac{1}{2}$ (или 0,5) является рациональным, так как оно представлено в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное. Однако $\frac{1}{2}$ не является целым числом. Следовательно, не все рациональные числа являются целыми.
Ответ: Ложно

5) любое действительное число является рациональным
Данное высказывание является ложным. Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ состоит из объединения множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$ и множества иррациональных чисел $\mathbb{I}$. Иррациональные числа, такие как $\sqrt{2}$, $\pi$, или число Эйлера $e$, являются действительными, но не могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$. Следовательно, существуют действительные числа, которые не являются рациональными.
Ответ: Ложно

6) любое рациональное число является действительным
Данное высказывание является истинным. По определению, множество действительных чисел $\mathbb{R}$ включает в себя все рациональные числа. Любое рациональное число можно расположить на числовой прямой, а все точки на числовой прямой представляют действительные числа. Таким образом, множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$).
Ответ: Истинно

7) любое иррациональное число является действительным
Данное высказывание является истинным. Аналогично предыдущему пункту, по определению, множество действительных чисел $\mathbb{R}$ включает в себя все иррациональные числа. Множество иррациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$).
Ответ: Истинно

8) любое действительное число является рациональным или иррациональным?
Данное высказывание является истинным. Это утверждение является, по сути, определением множества действительных чисел. Множество $\mathbb{R}$ — это объединение двух непересекающихся множеств: рациональных чисел $\mathbb{Q}$ и иррациональных чисел $\mathbb{I}$. Это означает, что любое число, которое мы называем действительным, обязательно будет либо рациональным, либо иррациональным. Математически: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ и $\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset$.
Ответ: Истинно