Номер 477, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Упражнения - номер 477, страница 122.

Условие.

477. Укажите какое-нибудь значение a, при котором уравнение $x^2 = a$:

1) имеет два рациональных корня;

2) имеет два иррациональных корня;

3) не имеет корней.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) имеет два рациональных корня;

Корни уравнения $x^2 = a$ даются формулой $x = \pm\sqrt{a}$. Чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы $a > 0$. Чтобы эти корни были рациональными, число $\sqrt{a}$ должно быть рациональным. Это возможно, если $a$ является полным квадратом некоторого рационального числа.
Возьмем в качестве примера $a = 9$. Число 9 является квадратом рационального числа 3.
Тогда уравнение примет вид: $x^2 = 9$.
Его корни: $x_1 = \sqrt{9} = 3$ и $x_2 = -\sqrt{9} = -3$.
Оба корня, 3 и -3, являются рациональными числами.
Ответ: $a=9$.

2) имеет два иррациональных корня;

Чтобы уравнение $x^2 = a$ имело два иррациональных корня, необходимо, чтобы $a$ было положительным числом ($a > 0$) и при этом не являлось квадратом какого-либо рационального числа. В этом случае $\sqrt{a}$ будет иррациональным числом.
Возьмем в качестве примера $a = 2$.
Тогда уравнение примет вид: $x^2 = 2$.
Его корни: $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.
Числа $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$ являются иррациональными.
Ответ: $a=2$.

3) не имеет корней.

Квадрат любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$. Если в уравнении $x^2 = a$ правая часть $a$ будет отрицательным числом ($a < 0$), то равенство не сможет выполниться ни при каком действительном значении $x$. Следовательно, уравнение не будет иметь действительных корней.
Возьмем в качестве примера $a = -1$.
Уравнение примет вид: $x^2 = -1$.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как не существует такого действительного числа, квадрат которого был бы равен -1.
Ответ: $a=-1$.