Номер 481, страница 122 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Упражнения - номер 481, страница 122.

Условие.

2,(130);

481. Запишите в порядке возрастания числа: 1,57; 1,571...; $\frac{\pi}{2}$; 1,(56); 1,(572).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы записать данные числа в порядке возрастания, необходимо привести их к одному виду — десятичной дроби, и затем сравнить их поразрядно.

Представим каждое число в виде десятичной дроби с достаточной для сравнения точностью:
1. $1,57$ — это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $1,570000...$
2. $1,571...$ — это число, которое начинается с цифр $1,571$.
3. $\frac{\pi}{2}$. Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,14159265...$, тогда $\frac{\pi}{2} \approx 1,57079632...$
4. $1,(56)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь $1,565656...$
5. $1,(572)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь $1,572572...$

Теперь выпишем все числа, представив их с достаточной для сравнения точностью, и приступим к сравнению:
$1,565656...$ (число $1,(56)$)
$1,570000...$ (число $1,57$)
$1,570796...$ (число $\frac{\pi}{2}$)
$1,571...$
$1,572572...$ (число $1,(572)$)

Проведем поразрядное сравнение:
- Сначала сравниваем цифры в разряде сотых. У числа $1,(56)$ в этом разряде стоит 6, а у всех остальных чисел — 7. Следовательно, $1,(56)$ является наименьшим числом в данном наборе.
- Теперь сравним оставшиеся четыре числа: $1,57$; $\frac{\pi}{2}$; $1,571...$; $1,(572)$. У всех них первые две цифры после запятой одинаковы (57). Сравним их по цифре в разряде тысячных:

• У $1,5700...$ это 0.
• У $1,5707...$ это 0.
• У $1,571...$ это 1.
• У $1,5725...$ это 2.

- Из этого сравнения видно, что $1,(572)$ (тысячная 2) больше, чем $1,571...$ (тысячная 1), которое в свою очередь больше, чем $1,57$ и $\frac{\pi}{2}$ (тысячная 0).
- Осталось сравнить $1,57$ и $\frac{\pi}{2}$. У них совпадают цифры вплоть до тысячных. Сравним их по разряду десятитысячных:
У $1,57 = 1,570\underline{0}...$ это 0.
У $\frac{\pi}{2} \approx 1,570\underline{7}...$ это 7.
Поскольку $0 < 7$, то $1,57 < \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, итоговая последовательность чисел в порядке возрастания: $1,(56) < 1,57 < \frac{\pi}{2} < 1,571... < 1,(572)$.

Ответ: $1,(56)$; $1,57$; $\frac{\pi}{2}$; $1,571...$; $1,(572)$.