Номер 487, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Упражнения - номер 487, страница 123.

Условие.

487. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения

$ \left( \frac{3}{4 - 4a + a^2} + \frac{2}{a^2 - 4} \right) \cdot (a - 2)^2 - \frac{2a - 4}{a + 2} $

не зависит от значения $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной a, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения получится число, то утверждение будет доказано.

Исходное выражение:

$$ \left( \frac{3}{4 - 4a + a^2} + \frac{2}{a^2 - 4} \right) \cdot (a - 2)^2 - \frac{2a - 4}{a + 2} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной a. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$4 - 4a + a^2 = (a-2)^2 \neq 0 \implies a \neq 2$

$a^2 - 4 = (a-2)(a+2) \neq 0 \implies a \neq 2$ и $a \neq -2$

$a + 2 \neq 0 \implies a \neq -2$

Таким образом, выражение определено для всех a, кроме $a = 2$ и $a = -2$.

Теперь упростим выражение, выполняя действия по порядку.

1. Сложение дробей в скобках.

Сначала преобразуем знаменатели дробей, разложив их на множители, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов):

$4 - 4a + a^2 = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$

$a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$

Теперь выполним сложение:

$$ \frac{3}{(a - 2)^2} + \frac{2}{(a - 2)(a + 2)} $$

Общий знаменатель для этих дробей — $(a - 2)^2(a+2)$. Приведем дроби к общему знаменателю, домножив числитель первой дроби на $(a+2)$, а второй — на $(a-2)$:

$$ \frac{3(a+2)}{(a - 2)^2(a+2)} + \frac{2(a-2)}{(a - 2)^2(a+2)} = \frac{3(a+2) + 2(a-2)}{(a - 2)^2(a+2)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{3a + 6 + 2a - 4}{(a - 2)^2(a+2)} = \frac{5a + 2}{(a - 2)^2(a+2)} $$

2. Умножение.

Умножим полученную дробь на $(a-2)^2$:

$$ \frac{5a + 2}{(a - 2)^2(a+2)} \cdot (a-2)^2 = \frac{(5a + 2)(a-2)^2}{(a - 2)^2(a+2)} $$

Сократим дробь на $(a-2)^2$, что допустимо, так как $a \neq 2$:

$$ \frac{5a + 2}{a+2} $$

3. Вычитание.

Выполним последнее действие — вычитание дробей:

$$ \frac{5a + 2}{a+2} - \frac{2a - 4}{a + 2} $$

Так как знаменатели одинаковы, произведем вычитание числителей:

$$ \frac{(5a + 2) - (2a - 4)}{a+2} = \frac{5a + 2 - 2a + 4}{a+2} = \frac{3a + 6}{a+2} $$

Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:

$$ \frac{3(a+2)}{a+2} $$

Сократим дробь на $(a+2)$, что допустимо, так как $a \neq -2$:

$$ 3 $$

В результате всех преобразований мы получили число 3. Это означает, что при всех допустимых значениях переменной a значение исходного выражения постоянно и равно 3. Следовательно, оно не зависит от значения a, что и требовалось доказать.

Ответ: В результате упрощения выражение равно 3, что является константой и не зависит от значения переменной a.