Номер 487, страница 123 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 487, страница 123.
№487 (с. 123)
Условие. №487 (с. 123)
скриншот условия

487. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения
$ \left( \frac{3}{4 - 4a + a^2} + \frac{2}{a^2 - 4} \right) \cdot (a - 2)^2 - \frac{2a - 4}{a + 2} $
не зависит от значения $a$.
Решение 1. №487 (с. 123)

Решение 2. №487 (с. 123)

Решение 3. №487 (с. 123)

Решение 4. №487 (с. 123)

Решение 5. №487 (с. 123)

Решение 6. №487 (с. 123)

Решение 7. №487 (с. 123)

Решение 8. №487 (с. 123)
Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной a, необходимо упростить это выражение. Если в результате упрощения получится число, то утверждение будет доказано.
Исходное выражение:
$$ \left( \frac{3}{4 - 4a + a^2} + \frac{2}{a^2 - 4} \right) \cdot (a - 2)^2 - \frac{2a - 4}{a + 2} $$
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной a. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$4 - 4a + a^2 = (a-2)^2 \neq 0 \implies a \neq 2$
$a^2 - 4 = (a-2)(a+2) \neq 0 \implies a \neq 2$ и $a \neq -2$
$a + 2 \neq 0 \implies a \neq -2$
Таким образом, выражение определено для всех a, кроме $a = 2$ и $a = -2$.
Теперь упростим выражение, выполняя действия по порядку.
1. Сложение дробей в скобках.
Сначала преобразуем знаменатели дробей, разложив их на множители, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов):
$4 - 4a + a^2 = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$
$a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$
Теперь выполним сложение:
$$ \frac{3}{(a - 2)^2} + \frac{2}{(a - 2)(a + 2)} $$
Общий знаменатель для этих дробей — $(a - 2)^2(a+2)$. Приведем дроби к общему знаменателю, домножив числитель первой дроби на $(a+2)$, а второй — на $(a-2)$:
$$ \frac{3(a+2)}{(a - 2)^2(a+2)} + \frac{2(a-2)}{(a - 2)^2(a+2)} = \frac{3(a+2) + 2(a-2)}{(a - 2)^2(a+2)} $$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$$ \frac{3a + 6 + 2a - 4}{(a - 2)^2(a+2)} = \frac{5a + 2}{(a - 2)^2(a+2)} $$
2. Умножение.
Умножим полученную дробь на $(a-2)^2$:
$$ \frac{5a + 2}{(a - 2)^2(a+2)} \cdot (a-2)^2 = \frac{(5a + 2)(a-2)^2}{(a - 2)^2(a+2)} $$
Сократим дробь на $(a-2)^2$, что допустимо, так как $a \neq 2$:
$$ \frac{5a + 2}{a+2} $$
3. Вычитание.
Выполним последнее действие — вычитание дробей:
$$ \frac{5a + 2}{a+2} - \frac{2a - 4}{a + 2} $$
Так как знаменатели одинаковы, произведем вычитание числителей:
$$ \frac{(5a + 2) - (2a - 4)}{a+2} = \frac{5a + 2 - 2a + 4}{a+2} = \frac{3a + 6}{a+2} $$
Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:
$$ \frac{3(a+2)}{a+2} $$
Сократим дробь на $(a+2)$, что допустимо, так как $a \neq -2$:
$$ 3 $$
В результате всех преобразований мы получили число 3. Это означает, что при всех допустимых значениях переменной a значение исходного выражения постоянно и равно 3. Следовательно, оно не зависит от значения a, что и требовалось доказать.
Ответ: В результате упрощения выражение равно 3, что является константой и не зависит от значения переменной a.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 487 расположенного на странице 123 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №487 (с. 123), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.