Номер 459, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 459, страница 115.

Условие.

459. Вместо точек поставьте слово «необходимо» или «достаточно», чтобы образовалось верное утверждение:

1) для того чтобы треугольник был равносторонним, ..., чтобы два его угла были равны;

2) для того чтобы четырёхугольник был параллелограммом, ..., чтобы две его стороны были параллельны;

3) для того чтобы число делилось нацело на 3, ..., чтобы оно делилось нацело на 9;

4) для того чтобы последняя цифра десятичной записи числа была нулём, ..., чтобы число было кратным 5.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

В этой задаче нужно определить, является ли одно условие необходимым или достаточным для другого. Разберем каждое утверждение.

• Необходимое условие: Если утверждение A истинно, то утверждение B тоже обязательно истинно ($A \Rightarrow B$). Без B не может быть A.
• Достаточное условие: Если утверждение B истинно, то этого хватает, чтобы утверждение A тоже было истинно ($B \Rightarrow A$). Наличие B гарантирует A.

1) для того чтобы треугольник был равносторонним, ..., чтобы два его угла были равны;

Пусть A — "треугольник равносторонний", а B — "два его угла равны".

Проверим, является ли B необходимым для A. Если треугольник равносторонний (A), то все три его угла равны $60^\circ$. Значит, любые два его угла точно равны. Следовательно, условие B необходимо.

Проверим, является ли B достаточным для A. Если у треугольника два угла равны (B), он называется равнобедренным. Однако не каждый равнобедренный треугольник является равносторонним. Например, треугольник с углами $70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$ — равнобедренный, но не равносторонний. Значит, условие B не является достаточным.

Таким образом, условие B является необходимым, но не достаточным.

Ответ: необходимо.

2) для того чтобы четырёхугольник был параллелограммом, ..., чтобы две его стороны были параллельны;

Пусть A — "четырёхугольник является параллелограммом", а B — "две его стороны параллельны".

Проверим, является ли B необходимым для A. Если четырёхугольник — параллелограмм (A), то по определению у него две пары параллельных противоположных сторон. Это означает, что у него точно есть хотя бы одна пара параллельных сторон. Следовательно, условие B необходимо.

Проверим, является ли B достаточным для A. Если у четырёхугольника две стороны параллельны (B), он не обязательно является параллелограммом. Примером может служить трапеция, у которой только одна пара сторон параллельна, а другая — нет. Значит, условие B не является достаточным.

Таким образом, условие B является необходимым, но не достаточным.

Ответ: необходимо.

3) для того чтобы число делилось нацело на 3, ..., чтобы оно делилось нацело на 9;

Пусть A — "число делится нацело на 3", а B — "число делится нацело на 9".

Проверим, является ли B необходимым для A. Если число делится на 3 (A), должно ли оно обязательно делиться на 9? Нет. Например, число 6 делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, условие B не является необходимым.

Проверим, является ли B достаточным для A. Если число делится на 9 (B), делится ли оно на 3? Да. Любое число, кратное 9, можно записать как $9k = 3 \cdot (3k)$, где $k$ — целое число. Очевидно, что такое число всегда делится на 3. Значит, условие B является достаточным.

Таким образом, условие B является достаточным, но не необходимым.

Ответ: достаточно.

4) для того чтобы последняя цифра десятичной записи числа была нулём, ..., чтобы число было кратным 5.

Пусть A — "последняя цифра числа — нуль", а B — "число кратно 5".

Проверим, является ли B необходимым для A. Если последняя цифра числа — нуль (A), то число делится на 10. Любое число, которое делится на 10, также делится и на 5. Следовательно, условие B необходимо.

Проверим, является ли B достаточным для A. Если число кратно 5 (B), означает ли это, что его последняя цифра — нуль? Нет. По признаку делимости на 5, последняя цифра числа должна быть 0 или 5. Например, число 25 кратно 5, но его последняя цифра не нуль. Значит, условие B не является достаточным.

Таким образом, условие B является необходимым, но не достаточным.

Ответ: необходимо.