Номер 458, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 458, страница 115.

Условие.

458. Опишите на языке «необходимо и достаточно» принадлежность элемента $x$ множествам: 1) $A$ и $B$ (рис. 25, а); 2) $A$, $B$ и $C$ (рис. 25, б, в).

Рис. 25

а

б

в

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

В основе решения лежит определение необходимого и достаточного условия в контексте теории множеств. Утверждение «свойство P является достаточным для свойства Q» эквивалентно логическому следованию $P \implies Q$. Утверждение «свойство P является необходимым для свойства Q» эквивалентно следованию $Q \implies P$. Если P является необходимым и достаточным для Q, то это эквивалентно $P \iff Q$.

Применительно к принадлежности элемента $x$ множествам, если $A \subset B$, то из $x \in A$ следует $x \in B$. Таким образом, принадлежность множеству A является достаточным условием для принадлежности множеству B, а принадлежность множеству B является необходимым условием для принадлежности множеству A.

1) А и В (рис. 25, а)

На рисунке 25, а мы видим, что множество A целиком содержится внутри множества B. Это означает, что A является подмножеством B, что записывается как $A \subset B$.

Исходя из этого отношения ($A \subset B$), мы можем сформулировать следующие условия для принадлежности элемента $x$ этим множествам:

1. Если элемент $x$ принадлежит множеству A ($x \in A$), то он автоматически принадлежит и множеству B ($x \in B$). Следовательно, утверждение «$x \in A$» является достаточным условием для утверждения «$x \in B$».

2. Чтобы элемент $x$ мог принадлежать множеству A, он прежде всего должен быть элементом множества B. Если $x \notin B$, то он точно не может быть в A. Таким образом, утверждение «$x \in B$» является необходимым условием для утверждения «$x \in A$».

Ответ: Для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству B, достаточно, чтобы он принадлежал множеству A. Для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству A, необходимо, чтобы он принадлежал множеству B.

2) А, В и С (рис. 25, б, в)

В этом пункте необходимо проанализировать два разных случая, представленных на рисунках 25, б и 25, в.

Анализ по рисунку 25, б:

На этом рисунке изображены два пересекающихся множества, A и B. Область их пересечения обозначена буквой C. Это позволяет нам интерпретировать C как множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и A, и B, то есть $C = A \cap B$. Из этого следует, что C является подмножеством как A ($C \subset A$), так и B ($C \subset B$).

Опишем условия принадлежности для элемента $x$:

• Для принадлежности множеству C: Условие «$x \in C$» равносильно условию «$x \in A$ и $x \in B$». Таким образом, для того чтобы элемент $x$ принадлежал множеству C, необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал и множеству A, и множеству B.

• Отношения между A и C: Так как $C \subset A$, то принадлежность $x$ к C является достаточным условием для его принадлежности к A. И наоборот, принадлежность $x$ к A является необходимым условием для его принадлежности к C.

• Отношения между B и C: Аналогично, так как $C \subset B$, принадлежность $x$ к C является достаточным условием для его принадлежности к B, а принадлежность $x$ к B — необходимым условием для принадлежности к C.

Анализ по рисунку 25, в:

На рисунке 25, в показано, что множества B и C полностью содержатся в множестве A, при этом B и C не пересекаются друг с другом. Это соответствует следующим отношениям: $B \subset A$, $C \subset A$ и $B \cap C = \emptyset$.

Опишем условия принадлежности для элемента $x$:

• Отношения с множеством A: Поскольку и B, и C являются подмножествами A, то принадлежность элемента $x$ любому из множеств B или C является достаточным условием для его принадлежности множеству A. В свою очередь, принадлежность $x$ множеству A является необходимым условием для его принадлежности как множеству B, так и множеству C.

• Отношения между B и C: Так как множества B и C не пересекаются ($B \cap C = \emptyset$), ни один элемент не может принадлежать им одновременно. Отсюда следует, что принадлежность $x$ множеству B является достаточным условием для его непринадлежности множеству C ($x \in B \implies x \notin C$), и наоборот. Также для принадлежности $x$ множеству B необходимо, чтобы он не принадлежал множеству C, и наоборот.

Ответ: Для рис. 25, б: Для принадлежности элемента $x$ множеству C необходимо и достаточно, чтобы он принадлежал и множеству A, и множеству B. Принадлежность $x$ к C достаточна для принадлежности к A (и к B); принадлежность $x$ к A (или к B) необходима для принадлежности к C.
Для рис. 25, в: Принадлежность $x$ к B (или к C) достаточна для принадлежности к A. Принадлежность к A необходима для принадлежности к B (и к C). Принадлежность к B достаточна для непринадлежности к C (и наоборот), а непринадлежность к C необходима для принадлежности к B (и наоборот).