Номер 452, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Упражнения - номер 452, страница 114.

Условие.

452. Истинным или ложным является высказывание:

1) ${a, b} \cap \{a\} = a;$

2) ${a, b} \cap \{a\} = \{a, b\};$

3) ${a, b} \cap \{a\} = \{a\};$

4) ${a, b} \cap \{a\} = \{b\}?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для определения истинности или ложности каждого высказывания необходимо выполнить операцию пересечения множеств. Пересечением двух множеств (обозначается символом $ \cap $) является множество, содержащее все те и только те элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам.

1) $\{a, b\} \cap \{a\} = a$

Найдём пересечение множеств $\{a, b\}$ и $\{a\}$. Общим элементом для этих двух множеств является только элемент $a$. Следовательно, результатом пересечения является множество, содержащее один элемент $a$, то есть $\{a\}$.
Высказывание утверждает, что результат равен элементу $a$, а не множеству $\{a\}$. В теории множеств элемент и множество, содержащее только этот элемент, не равны. Таким образом, $ \{a\} \neq a $.
Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: ложно.

2) $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a, b\}$

Как мы установили ранее, пересечение множеств $\{a, b\}$ и $\{a\}$ есть множество $\{a\}$.
Высказывание утверждает, что результат равен множеству $\{a, b\}$. Это неверно, так как элемент $b$ не принадлежит множеству $\{a\}$, а значит, не может быть в их пересечении.
Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: ложно.

3) $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a\}$

Пересечение множеств $\{a, b\}$ и $\{a\}$ — это множество, состоящее из их общих элементов. Единственный общий элемент — это $a$. Таким образом, результат операции — множество $\{a\}$.
Высказывание утверждает, что $ \{a, b\} \cap \{a\} = \{a\} $, что в точности соответствует результату операции пересечения.
Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: истинно.

4) $\{a, b\} \cap \{a\} = \{b\}$

Результатом пересечения множеств $\{a, b\}$ и $\{a\}$ является множество $\{a\}$.
Высказывание утверждает, что результат равен множеству $\{b\}$. Это неверно, так как элемент $b$ не является общим для обоих множеств.
Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: ложно.