Номер 453, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 453, страница 114.

Условие.

453. Найдите пересечение множеств $A$ и $B$, если:

1) $A$ — множество равнобедренных треугольников, $B$ — множество равносторонних треугольников;

2) $A$ — множество прямоугольных треугольников, $B$ — множество равносторонних треугольников;

3) $A$ — множество двузначных чисел, $B$ — множество натуральных чисел, кратных 19;

4) $A$ — множество однозначных чисел, $B$ — множество простых чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1) A — множество равнобедренных треугольников, B — множество равносторонних треугольников

Пересечением множеств A и B является множество элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B. В данном случае нам нужно найти множество треугольников, которые являются одновременно равнобедренными и равносторонними.

По определению, равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны имеют одинаковую длину. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Любой равносторонний треугольник имеет три равные стороны, что автоматически удовлетворяет условию "как минимум две стороны равны". Следовательно, любой равносторонний треугольник является равнобедренным. Это означает, что множество B (равносторонние треугольники) является подмножеством множества A (равнобедренные треугольники), что записывается как $B \subset A$.

Пересечение множества и его подмножества равно самому подмножеству. Таким образом, $A \cap B = B$.

Ответ: множество равносторонних треугольников.

2) A — множество прямоугольных треугольников, B — множество равносторонних треугольников

Нам необходимо найти множество треугольников, которые одновременно являются и прямоугольными, и равносторонними.

У прямоугольного треугольника один из углов равен $90^\circ$.

У равностороннего треугольника все углы равны между собой и составляют $60^\circ$ каждый (так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, а $180^\circ / 3 = 60^\circ$).

Невозможно, чтобы у одного и того же треугольника один угол был равен $90^\circ$, а все три угла были равны $60^\circ$. Эти два свойства являются взаимоисключающими. Следовательно, не существует треугольника, который бы принадлежал к обоим множествам.

Пересечение таких множеств является пустым множеством.

Ответ: пустое множество ($\emptyset$).

3) A — множество двузначных чисел, B — множество натуральных чисел, кратных 19

Пересечением этих двух множеств будут числа, которые являются двузначными (т.е. от 10 до 99 включительно) и при этом делятся на 19 без остатка.

Множество A = $\{10, 11, ..., 99\}$.

Множество B = $\{19, 38, 57, 76, 95, 114, ...\}$.

Найдем все числа, кратные 19, которые являются двузначными:
$19 \times 1 = 19$ (подходит)
$19 \times 2 = 38$ (подходит)
$19 \times 3 = 57$ (подходит)
$19 \times 4 = 76$ (подходит)
$19 \times 5 = 95$ (подходит)
$19 \times 6 = 114$ (не подходит, так как является трехзначным).

Следовательно, общими элементами для множеств A и B являются числа 19, 38, 57, 76 и 95.

Ответ: $\{19, 38, 57, 76, 95\}$.

4) A — множество однозначных чисел, B — множество простых чисел

Нам нужно найти пересечение множества однозначных чисел и множества простых чисел. Это будут числа, которые одновременно являются и простыми, и однозначными.

Множество A однозначных натуральных чисел: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

Рассмотрим каждое число из множества A и проверим, является ли оно простым:
1 — не является простым числом (у него только один делитель).
2 — простое число (делители 1 и 2).
3 — простое число (делители 1 и 3).
4 — не является простым (составное, делители 1, 2, 4).
5 — простое число (делители 1 и 5).
6 — не является простым (составное, делители 1, 2, 3, 6).
7 — простое число (делители 1 и 7).
8 — не является простым (составное, делители 1, 2, 4, 8).
9 — не является простым (составное, делители 1, 3, 9).

Таким образом, однозначными простыми числами являются 2, 3, 5 и 7.

Ответ: $\{2, 3, 5, 7\}$.