Номер 455, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Упражнения - номер 455, страница 115.

Условие.

455. Какие из следующих утверждений верны:

1) $ \{a, b\} \cup \{b\} = \{a, b\} $;

2) $ \{a, b\} \cup \{b\} = \{b\} $;

3) $ \{a, b\} \cup \{a\} = \{a\} $;

4) $ \{a, b\} \cup \{b\} = \{\{b\}\} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для определения верных утверждений необходимо проанализировать каждое из них, используя определение операции объединения множеств. Объединение двух множеств $A$ и $B$, которое обозначается как $A \cup B$, — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству $A$, или множеству $B$, или обоим этим множествам одновременно.

1) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{a, b\}$

Рассмотрим левую часть равенства. Первое множество $\{a, b\}$ состоит из элементов $a$ и $b$. Второе множество $\{b\}$ состоит из элемента $b$. Объединение этих двух множеств включает в себя все уникальные элементы из обоих множеств. Таким образом, мы берем элементы $a$ и $b$ из первого множества и добавляем уникальные элементы из второго. Элемент $b$ уже присутствует. Следовательно, результат объединения — это множество, содержащее элементы $a$ и $b$.
Математически: $\{a, b\} \cup \{b\} = \{a, b\}$.
Правая часть утверждения равна $\{a, b\}$. Поскольку левая и правая части совпадают, утверждение является верным.
Ответ: верно.

2) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{b\}$

Как было установлено в предыдущем пункте, результатом объединения $\{a, b\} \cup \{b\}$ является множество $\{a, b\}$. Утверждение же гласит, что результат равен $\{b\}$. Множество $\{a, b\}$ содержит элемент $a$, которого нет в множестве $\{b\}$ (при условии, что $a \neq b$). Следовательно, $\{a, b\} \neq \{b\}$. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

3) $\{a, b\} \cup \{a\} = \{a\}$

Рассмотрим левую часть равенства. Первое множество — $\{a, b\}$, второе — $\{a\}$. Их объединение будет содержать все уникальные элементы: $a$ и $b$. Таким образом, $\{a, b\} \cup \{a\} = \{a, b\}$. Утверждение гласит, что результат равен $\{a\}$. Так как $\{a, b\} \neq \{a\}$ (при условии, что $a \neq b$), это утверждение неверно.
Ответ: неверно.

4) $\{a, b\} \cup \{b\} = \{\{b\}\}$

Как мы уже выяснили, $\{a, b\} \cup \{b\} = \{a, b\}$. Утверждение же предлагает в качестве результата множество $\{\{b\}\}$. Это множество содержит один-единственный элемент, который сам является множеством: $\{b\}$. Множество $\{a, b\}$, в свою очередь, содержит элементы $a$ и $b$. Элементы этих двух множеств совершенно различны. Следовательно, $\{a, b\} \neq \{\{b\}\}$. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, из четырех предложенных утверждений верным является только первое.