Номер 457, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 457, страница 115.

Условие.

457. Какие фигуры могут быть объединением двух лучей, лежащих на одной прямой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Чтобы определить, какие фигуры могут получиться в результате объединения двух лучей, лежащих на одной прямой, необходимо рассмотреть все возможные варианты их взаимного расположения. Для удобства представим прямую как числовую ось и будем анализировать положение лучей в зависимости от их начальных точек и направлений.

Луч
Объединение двух лучей образует луч, если исходные лучи сонаправлены, то есть направлены в одну и ту же сторону.
Рассмотрим два луча, $l_1$ и $l_2$, с начальными точками $A$ (координата $a$) и $B$ (координата $b$).
Если оба луча направлены вправо, то они задаются неравенствами $x \ge a$ и $x \ge b$. Их объединение будет множеством точек $x \ge \min(a, b)$, что представляет собой луч, начинающийся в самой левой из двух начальных точек. Математически: $[a, +\infty) \cup [b, +\infty) = [\min(a, b), +\infty)$.
Аналогично, если оба луча направлены влево ($x \le a$ и $x \le b$), их объединение — это множество $x \le \max(a, b)$, то есть луч $(-\infty, \max(a, b)]$.
Таким образом, в случае сонаправленных лучей их объединением всегда является луч.
Ответ: Луч.

Прямая
Объединение двух лучей образует прямую, если лучи направлены в противоположные стороны и имеют хотя бы одну общую точку. Это происходит, когда лучи «смотрят» друг на друга или выходят из одной точки.
Пусть луч $l_1$ начинается в точке $A(a)$ и направлен вправо ($[a, +\infty)$), а луч $l_2$ начинается в точке $B(b)$ и направлен влево ($(–\infty, b]$).
Их объединение — это множество $[a, +\infty) \cup (–\infty, b]$.
Чтобы это объединение покрывало всю прямую, не должно быть промежутка между лучами. Это условие выполняется, когда начальная точка правого луча ($A$) не находится правее начальной точки левого луча ($B$), то есть при $a \le b$.
В этом случае любая точка на прямой принадлежит либо первому лучу, либо второму. Если $a=b$, лучи выходят из одной точки в разные стороны. Если $a<b$, лучи перекрываются на отрезке $[a,b]$. В обоих случаях их объединение — это вся прямая $(-\infty, +\infty)$.
Ответ: Прямая.

Объединение двух непересекающихся лучей
Эта фигура образуется, когда два луча на прямой направлены в противоположные стороны и не имеют общих точек. Такое расположение можно представить как лучи, «смотрящие» в разные стороны от некоторого промежутка.
Используем те же обозначения: луч $l_1 = [a, +\infty)$ и луч $l_2 = (–\infty, b]$.
Если начальная точка правого луча $A(a)$ находится строго правее начальной точки левого луча $B(b)$, то есть $a > b$, то лучи не пересекаются. Между ними остается «пустой» промежуток — открытый интервал $(b, a)$.
Объединением в этом случае является множество $(–\infty, b] \cup [a, +\infty)$. Эта фигура состоит из двух отдельных, непересекающихся лучей, лежащих на одной прямой. Такую фигуру также можно описать как прямую с выколотым интервалом.
Ответ: Объединение двух непересекающихся лучей.