Номер 456, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 456, страница 115.

Условие.

456. Найдите объединение множеств $A$ и $B$, если:

1) $A$ – множество равнобедренных треугольников, $B$ – множество равносторонних треугольников;

2) $A$ – множество простых чисел, $B$ – множество составных чисел;

3) $A$ – множество простых чисел, $B$ – множество нечётных чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1)

Дано два множества:$A$ — множество равнобедренных треугольников, и $B$ — множество равносторонних треугольников.

Объединение множеств, обозначаемое как $A \cup B$, — это множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству $A$, или множеству $B$, или обоим множествам одновременно.

По определению, равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Любой равносторонний треугольник имеет три равные стороны, что удовлетворяет условию "как минимум две стороны равны". Следовательно, каждый равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника. Это означает, что множество равносторонних треугольников $B$ является подмножеством множества равнобедренных треугольников $A$. В виде формулы это записывается как $B \subset A$.

Когда одно множество является подмножеством другого, их объединение равно большему из этих множеств (надмножеству). В данном случае $A \cup B = A$.

Ответ: объединением множеств $A$ и $B$ является множество равнобедренных треугольников.

2)

Дано два множества в рамках натуральных чисел $\mathbb{N}$:$A$ — множество простых чисел, то есть $A = \{2, 3, 5, 7, 11, ...\}$.$B$ — множество составных чисел, то есть $B = \{4, 6, 8, 9, 10, ...\}$.

Объединение $A \cup B$ будет содержать все числа, которые являются либо простыми, либо составными.

Все множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ принято разделять на три категории:
- Простые числа (имеют ровно два делителя: 1 и само себя).
- Составные числа (имеют более двух делителей).
- Число 1 (имеет только один делитель, поэтому не является ни простым, ни составным).

Таким образом, объединив множество простых чисел $A$ и множество составных чисел $B$, мы получим все натуральные числа, за исключением числа 1.

$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...\} = \mathbb{N} \setminus \{1\}$.

Ответ: объединением множеств $A$ и $B$ является множество всех натуральных чисел, кроме 1.

3)

Дано два множества в рамках натуральных чисел:$A$ — множество простых чисел, то есть $A = \{2, 3, 5, 7, 11, ...\}$.$B$ — множество нечётных чисел, то есть $B = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...\}$.

Объединение $A \cup B$ будет состоять из всех чисел, которые являются простыми или нечётными.

Рассмотрим состав этого объединения. Множество $B$ уже содержит все нечётные числа. Теперь посмотрим, какие числа из множества $A$ (простые числа) нужно добавить.

Все простые числа, за исключением одного, являются нечётными (например, 3, 5, 7, 11). Эти числа уже содержатся в множестве $B$. Единственное простое число, которое не является нечётным, — это число 2. Оно чётное, поэтому его нет в множестве $B$.

Следовательно, чтобы получить объединение $A \cup B$, нам нужно взять все элементы из множества нечётных чисел $B$ и добавить к ним те элементы из $A$, которых нет в $B$. Таким элементом является только число 2.

$A \cup B = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, ...\} \cup \{2\}$.

Ответ: объединением множеств $A$ и $B$ является множество, состоящее из всех нечётных натуральных чисел и числа 2.