Номер 454, страница 115 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 454, страница 115.

Условие.

454. Какие фигуры могут быть пересечением двух лучей, лежащих на одной прямой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для определения всех возможных фигур, которые могут получиться в результате пересечения двух лучей, лежащих на одной прямой, рассмотрим все варианты их взаимного расположения. Пусть у нас есть луч с началом в точке $A$ и луч с началом в точке $B$.

Луч

Пересечением может быть луч. Такая ситуация возникает, если оба луча на прямой направлены в одну и ту же сторону (сонаправлены). Например, если луч с началом в точке $A$ и луч с началом в точке $B$ оба направлены вправо, и точка $A$ находится левее точки $B$. Тогда все точки луча с началом в $B$ принадлежат и лучу с началом в $A$. Их пересечением будет луч с началом в точке $B$. Если же начала лучей совпадают ($A=B$), то их пересечение — это сам исходный луч.

Ответ: луч.

Отрезок

Пересечением может быть отрезок. Это происходит, когда лучи направлены в противоположные стороны, «навстречу» друг другу. Например, если луч с началом в точке $A$ направлен вправо, а луч с началом в точке $B$ направлен влево, причем точка $A$ расположена левее точки $B$. Общей частью этих лучей будут все точки прямой, заключенные между $A$ и $B$, включая сами точки. Эта фигура является отрезком $[AB]$.

Ответ: отрезок.

Точка

Пересечением может быть точка. Этот случай реализуется, когда два луча имеют общее начало ($A=B$), но направлены в противоположные стороны. Их единственной общей точкой будет их общее начало.

Ответ: точка.

Пустое множество

Пересечение может быть пустым множеством (не содержать ни одной точки). Такая ситуация возникает, когда лучи на прямой направлены в противоположные стороны «друг от друга». Например, если луч с началом в точке $A$ направлен вправо, а луч с началом в точке $B$ направлен влево, но при этом точка $B$ находится левее точки $A$. В этом случае у лучей нет общих точек.

Ответ: пустое множество.