Номер 448, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 448, страница 114.

Условие.

448. Истинным или ложным является высказывание:

1) ${a} \in \{a, b\}$;

2) ${a} \subset \{a, b\}$;

3) $a \subset \{a, b\}$;

4) $\{a, b\} \in \{a, b\}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1) $\{a\} \in \{a, b\}$

Разберем это высказывание. Знак $\in$ означает «является элементом» или «принадлежит». Справа от знака находится множество $\{a, b\}$, элементами которого являются $a$ и $b$. Слева от знака находится множество $\{a\}$, которое состоит из одного элемента $a$.
Вопрос заключается в том, является ли множество $\{a\}$ одним из элементов множества $\{a, b\}$. Элементами множества $\{a, b\}$ являются только $a$ и $b$. Множество $\{a\}$ не является ни элементом $a$, ни элементом $b$.
Следовательно, высказывание ложно. Истинным было бы высказывание $a \in \{a, b\}$.
Ответ: ложно.

2) $\{a\} \subset \{a, b\}$

Разберем это высказывание. Знак $\subset$ означает «является подмножеством». Множество $A$ является подмножеством множества $B$, если каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$.
В данном случае, левое множество — это $\{a\}$, а правое множество — это $\{a, b\}$.
Единственный элемент множества $\{a\}$ — это $a$.
Проверим, является ли элемент $a$ элементом множества $\{a, b\}$. Да, $a$ является элементом множества $\{a, b\}$.
Поскольку все элементы множества $\{a\}$ содержатся в множестве $\{a, b\}$, то высказывание истинно.
Ответ: истинно.

3) $a \subset \{a, b\}$

Разберем это высказывание. Знак $\subset$ означает «является подмножеством». Это отношение определено между двумя множествами.
Слева от знака находится $a$, что является элементом, а не множеством. Справа находится множество $\{a, b\}$.
Отношение «быть подмножеством» не может связывать элемент и множество. Элемент может принадлежать множеству (отношение $\in$), но не может быть его подмножеством.
Поскольку $a$ — это не множество, данное высказывание некорректно с точки зрения формальной записи и считается ложным.
Ответ: ложно.

4) $\{a, b\} \in \{a, b\}$

Разберем это высказывание. Знак $\in$ означает «принадлежит».
Вопрос в том, является ли множество $\{a, b\}$ элементом самого себя.
Элементами множества $\{a, b\}$ являются $a$ и $b$. Ни один из этих элементов не является множеством $\{a, b\}$.
Следовательно, высказывание ложно. Стоит отметить, что высказывание $\{a, b\} \subset \{a, b\}$ было бы истинным, так как любое множество является подмножеством самого себя.
Ответ: ложно.