Номер 451, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Упражнения - номер 451, страница 114.

Условие.

451. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера соотношение между множествами:

1) $A$ – множество неотрицательных чисел; $B = \{0\}$; $N$ – множество натуральных чисел;

2) $N$ – множество натуральных чисел; $A$ – множество натуральных чисел, кратных 6; $B$ – множество натуральных чисел, кратных 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1)

Для решения этой задачи проанализируем данные множества:

• $A$ — множество неотрицательных чисел. Это числа, которые больше или равны нулю ($x \ge 0$). Это множество включает в себя натуральные числа, ноль, положительные дроби и иррациональные числа.
• $B = \{0\}$ — множество, состоящее из одного элемента, числа 0.
• $N$ — множество натуральных чисел. В математике принято считать, что $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Теперь установим соотношения между этими множествами:

1. Соотношение между $N$ и $A$. Все натуральные числа являются положительными, а значит, и неотрицательными. Следовательно, множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множества неотрицательных чисел $A$. Записывается это как $N \subset A$.
2. Соотношение между $B$ и $A$. Множество $B$ состоит из числа 0. Ноль является неотрицательным числом, поэтому множество $B$ также является подмножеством множества $A$. Записывается это как $B \subset A$.
3. Соотношение между $N$ и $B$. Множество $N$ состоит из положительных целых чисел, а множество $B$ — только из нуля. У этих множеств нет общих элементов. Это означает, что их пересечение пусто: $N \cap B = \emptyset$.

Таким образом, $N$ и $B$ — это два непересекающихся подмножества множества $A$.

Ответ: Диаграмма Эйлера будет выглядеть следующим образом: рисуется большой круг (или любая другая замкнутая фигура), который представляет множество $A$. Внутри этого большого круга рисуются два отдельных, непересекающихся круга поменьше. Один из них представляет множество $N$, другой — множество $B$.

2)

Проанализируем данные множества:

• $N$ — множество натуральных чисел, т.е. $N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...\}$.
• $A$ — множество натуральных чисел, кратных 6, т.е. $A = \{6, 12, 18, 24, ...\}$.
• $B$ — множество натуральных чисел, кратных 3, т.е. $B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, ...\}$.

Теперь установим соотношения между этими множествами:

1. Соотношение между $A$ и $N$. По определению, множество $A$ состоит из натуральных чисел, значит, оно является подмножеством множества $N$: $A \subset N$.
2. Соотношение между $B$ и $N$. По определению, множество $B$ состоит из натуральных чисел, значит, оно также является подмножеством множества $N$: $B \subset N$.
3. Соотношение между $A$ и $B$. Возьмем любое число из множества $A$. Оно имеет вид $6k$, где $k$ — натуральное число. Поскольку $6 = 2 \times 3$, то любое число вида $6k$ можно записать как $3 \times (2k)$. Это означает, что любое число, кратное 6, также кратно 3. Следовательно, каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$. Это значит, что $A$ является подмножеством $B$: $A \subset B$.

Объединяя все эти соотношения, мы получаем цепочку вложенных множеств: $A \subset B \subset N$.

Ответ: Диаграмма Эйлера будет выглядеть как три вложенных друг в друга круга. Самый большой круг представляет множество натуральных чисел $N$. Внутри него находится круг поменьше, представляющий множество $B$ (числа, кратные 3). А внутри круга $B$ находится самый маленький круг, представляющий множество $A$ (числа, кратные 6).