Номер 449, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Подмножество. Операции над множествами. Упражнения - номер 449, страница 114.

Условие.

449. Докажите, что если $A \subset B$ и $B \subset C$, то $A \subset C$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Это утверждение доказывается на основе определения подмножества.

Определение подмножества: Множество $A$ является подмножеством множества $B$ (обозначается как $A \subset B$) тогда и только тогда, когда каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$.

Нам дано:

1. $A \subset B$. Это значит, что для любого элемента $x$, если $x \in A$, то из этого следует, что $x \in B$.

2. $B \subset C$. Это значит, что для любого элемента $y$, если $y \in B$, то из этого следует, что $y \in C$.

Нам нужно доказать, что $A \subset C$. То есть, нам нужно показать, что для любого элемента $z$, если $z \in A$, то из этого следует, что $z \in C$.

Доказательство:

Возьмем произвольный элемент $a$ из множества $A$. Пусть $a \in A$.

Поскольку $A \subset B$ (из условия 1), то из того, что $a \in A$, следует, что $a \in B$.

Теперь мы знаем, что $a \in B$. Поскольку $B \subset C$ (из условия 2), то из того, что $a \in B$, следует, что $a \in C$.

Таким образом, мы начали с произвольного элемента $a \in A$ и показали, что он также принадлежит множеству $C$ (то есть, $a \in C$).

Так как наш выбор элемента $a$ был произвольным, это рассуждение справедливо для любого элемента множества $A$. Следовательно, каждый элемент множества $A$ является элементом множества $C$.

По определению подмножества, это означает, что $A \subset C$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на свойстве транзитивности. Если взять произвольный элемент $x \in A$, то по условию $A \subset B$ этот элемент также принадлежит множеству $B$ ($x \in B$). Далее, из условия $B \subset C$ следует, что раз $x \in B$, то $x \in C$. Таким образом, мы показали, что любой элемент из $A$ также находится в $C$, что и доказывает включение $A \subset C$.