Страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

441. Пусть $A$ — множество цифр числа 1958. Является ли множество цифр числа $x$ подмножеством множества $A$, если:

1) $x = 98$;

2) $x = 9510$;

3) $x = 519$;

4) $x = 5858$;

5) $x = 195\,888$;

6) $x = 91\,258$?

Сначала определим множество $A$ — множество цифр числа 1958. Число 1958 состоит из цифр 1, 9, 5, 8. Таким образом, множество $A$ выглядит так:$A = \{1, 5, 8, 9\}$.

Чтобы множество цифр числа $x$ было подмножеством множества $A$, необходимо, чтобы каждая цифра, входящая в состав числа $x$, также входила и во множество $A$.

1) x = 98;
Множество цифр числа $x=98$ — это $D_1 = \{8, 9\}$. Обе цифры, 8 и 9, содержатся во множестве $A = \{1, 5, 8, 9\}$. Следовательно, множество цифр числа 98 является подмножеством множества $A$.
Ответ: да.

2) x = 9510;
Множество цифр числа $x=9510$ — это $D_2 = \{0, 1, 5, 9\}$. В этом множестве присутствует цифра 0, которая не принадлежит множеству $A = \{1, 5, 8, 9\}$. Следовательно, множество цифр числа 9510 не является подмножеством множества $A$.
Ответ: нет.

3) x = 519;
Множество цифр числа $x=519$ — это $D_3 = \{1, 5, 9\}$. Все цифры этого множества (1, 5, 9) содержатся во множестве $A = \{1, 5, 8, 9\}$. Следовательно, множество цифр числа 519 является подмножеством множества $A$.
Ответ: да.

4) x = 5858;
Множество цифр числа $x=5858$ — это $D_4 = \{5, 8\}$ (в множестве элементы не повторяются). Обе цифры, 5 и 8, содержатся во множестве $A = \{1, 5, 8, 9\}$. Следовательно, множество цифр числа 5858 является подмножеством множества $A$.
Ответ: да.

5) x = 195 888;
Множество цифр числа $x=195888$ — это $D_5 = \{1, 5, 8, 9\}$. Это множество полностью совпадает с множеством $A = \{1, 5, 8, 9\}$. Поскольку любое множество является своим собственным подмножеством ($A \subseteq A$), множество цифр числа 195 888 является подмножеством множества $A$.
Ответ: да.

6) x = 91 258?
Множество цифр числа $x=91258$ — это $D_6 = \{1, 2, 5, 8, 9\}$. В этом множестве есть цифра 2, которая не принадлежит множеству $A = \{1, 5, 8, 9\}$. Следовательно, множество цифр числа 91 258 не является подмножеством множества $A$.
Ответ: нет.

442. Пусть $A \neq \emptyset$. Какие два разных подмножества всегда имеет множество A?

Для любого множества $A$ существуют два так называемых тривиальных подмножества.

1. Пустое множество. По определению, пустое множество ($\emptyset$) является подмножеством любого множества. Следовательно, $\emptyset \subseteq A$ всегда верно.

2. Само множество. Любое множество является подмножеством самого себя. Следовательно, $A \subseteq A$ также всегда верно.

Таким образом, у любого множества $A$ всегда есть как минимум два подмножества: пустое множество $\emptyset$ и само множество $A$.

В условии задачи указано, что множество $A$ не является пустым, то есть $A \neq \emptyset$. Это означает, что два найденных подмножества ($\emptyset$ и $A$) не совпадают, то есть являются различными.

Следовательно, любое непустое множество $A$ всегда имеет как минимум два различных подмножества.

Ответ: Пустое множество ($\emptyset$) и само множество $A$.

443. Найдите пересечение множеств цифр, используемых в записи чисел:

1) 555 288 и 82 223;

2) 470 713 и 400 007.

1) 555 288 и 82 223;

Чтобы найти пересечение множеств цифр, используемых в записи чисел, нужно сначала определить сами эти множества.

Для числа 555 288 используются следующие цифры: 5, 2, 8. Составим из них множество $A$. В множестве каждый элемент уникален, поэтому $A = \{2, 5, 8\}$.

Для числа 82 223 используются следующие цифры: 8, 2, 3. Составим из них множество $B$. Таким образом, $B = \{2, 3, 8\}$.

Пересечение множеств $A$ и $B$ (обозначается $A \cap B$) — это новое множество, которое содержит все элементы, общие для $A$ и $B$.

Сравним множества $A = \{2, 5, 8\}$ и $B = \{2, 3, 8\}$. Общими для них являются цифры 2 и 8.

Значит, $A \cap B = \{2, 8\}$.

Ответ: $\{2, 8\}$

2) 470 713 и 400 007.

Действуем аналогично предыдущему пункту.

Для числа 470 713 используются цифры: 4, 7, 0, 1, 3. Составим из них множество $C$. Получаем $C = \{0, 1, 3, 4, 7\}$.

Для числа 400 007 используются цифры: 4, 0, 7. Составим из них множество $D$. Получаем $D = \{0, 4, 7\}$.

Теперь найдем пересечение множеств $C$ и $D$, то есть $C \cap D$. Сравним множества $C = \{0, 1, 3, 4, 7\}$ и $D = \{0, 4, 7\}$. Общими для них являются цифры 0, 4 и 7.

Значит, $C \cap D = \{0, 4, 7\}$.

Ответ: $\{0, 4, 7\}$

444. Пусть $A$ — множество двузначных чисел, $B$ — множество простых чисел. Принадлежит ли множеству $A \cap B$ число: 5, 7, 11, 31, 57, 96?

По условию задачи, даны два множества:

• $A$ — множество двузначных чисел. Это целые числа от 10 до 99 включительно.
• $B$ — множество простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя.

Пересечение множеств $A \cap B$ содержит элементы, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$. Таким образом, чтобы число принадлежало множеству $A \cap B$, оно должно быть одновременно двузначным и простым.

Проверим каждое из предложенных чисел:

5
Число 5 является простым ($5 \in B$), но оно не является двузначным, так как состоит из одной цифры ($5 \notin A$). Следовательно, число 5 не принадлежит пересечению множеств $A \cap B$.
Ответ: не принадлежит.

7
Число 7 является простым ($7 \in B$), но оно однозначное ($7 \notin A$). Следовательно, число 7 не принадлежит пересечению множеств $A \cap B$.
Ответ: не принадлежит.

11
Число 11 является двузначным ($11 \in A$). Число 11 также является простым, так как его делители — это только 1 и 11 ($11 \in B$). Поскольку число 11 удовлетворяет обоим условиям, оно принадлежит пересечению множеств $A \cap B$.
Ответ: принадлежит.

31
Число 31 является двузначным ($31 \in A$). Число 31 является простым, так как его делители — это только 1 и 31 ($31 \in B$). Поскольку число 31 удовлетворяет обоим условиям, оно принадлежит пересечению множеств $A \cap B$.
Ответ: принадлежит.

57
Число 57 является двузначным ($57 \in A$). Однако число 57 не является простым, так как оно делится на 3 (сумма цифр $5+7=12$ делится на 3) и на 19 ($57 = 3 \times 19$). Значит, 57 — составное число ($57 \notin B$). Следовательно, число 57 не принадлежит пересечению множеств $A \cap B$.
Ответ: не принадлежит.

96
Число 96 является двузначным ($96 \in A$). Однако число 96 не является простым, так как оно четное (делится на 2) и больше 2. Значит, 96 — составное число ($96 \notin B$). Следовательно, число 96 не принадлежит пересечению множеств $A \cap B$.
Ответ: не принадлежит.

445. Найдите множество общих делителей чисел 90 и 45.

Чтобы найти множество общих делителей чисел 90 и 45, необходимо найти все числа, на которые делятся без остатка и 90, и 45.

Способ 1: Нахождение всех делителей для каждого числа.

1. Сначала найдем все делители числа 90. Делитель — это число, на которое исходное число делится без остатка.
$90 \div 1 = 90$
$90 \div 2 = 45$
$90 \div 3 = 30$
$90 \div 5 = 18$
$90 \div 6 = 15$
$90 \div 9 = 10$
Таким образом, множество делителей числа 90, обозначим его $D(90)$, выглядит так:
$D(90) = \{1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90\}$.

2. Теперь найдем все делители числа 45.
$45 \div 1 = 45$
$45 \div 3 = 15$
$45 \div 5 = 9$
Множество делителей числа 45, $D(45)$:
$D(45) = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$.

3. Общие делители — это числа, которые принадлежат обоим множествам. Сравним $D(90)$ и $D(45)$ и выберем одинаковые элементы:
Общие делители: $\{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$.

Способ 2: Использование свойства делимости.

Можно заметить, что число 90 делится на 45 ($90 = 2 \cdot 45$). Это означает, что любой делитель числа 45 автоматически является и делителем числа 90.
Следовательно, множество общих делителей для 90 и 45 будет совпадать с множеством всех делителей числа 45.
Нам достаточно найти все делители числа 45, что мы уже сделали в предыдущем способе.
Множество делителей 45: $\{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$.

Ответ: $\{1, 3, 5, 9, 15, 45\}$

446. Найдите объединение множеств цифр, используемых в записи чисел:

1) 27 288 и 56 383;

$ \{2, 7, 8\} \cup \{3, 5, 6, 8\} = \{2, 3, 5, 6, 7, 8\} $

2) 55 555 и 777 777.

$ \{5\} \cup \{7\} = \{5, 7\} $

1)

Чтобы найти объединение множеств цифр, используемых в записи чисел 27 288 и 56 383, сначала определим эти множества.

Пусть $A$ — это множество цифр, используемых в записи числа 27 288. Число состоит из цифр 2, 7 и 8. В множестве каждый элемент учитывается только один раз, независимо от того, сколько раз он встречается в числе.

Следовательно, множество $A$ равно: $A = \{2, 7, 8\}$.

Пусть $B$ — это множество цифр, используемых в записи числа 56 383. Число состоит из цифр 5, 6, 3 и 8.

Следовательно, множество $B$ равно: $B = \{3, 5, 6, 8\}$.

Объединение множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \cup B$, — это множество, которое содержит все элементы из множества $A$ и все элементы из множества $B$, при этом общие элементы включаются только один раз.

$A \cup B = \{2, 7, 8\} \cup \{3, 5, 6, 8\}$

Объединяя все уникальные цифры из обоих множеств, получаем:

$A \cup B = \{2, 3, 5, 6, 7, 8\}$.

Ответ: $\{2, 3, 5, 6, 7, 8\}$

2)

Аналогично найдем объединение множеств цифр для чисел 55 555 и 777 777.

Пусть $C$ — это множество цифр, используемых в записи числа 55 555. В этом числе используется только одна цифра — 5.

Следовательно, множество $C$ равно: $C = \{5\}$.

Пусть $D$ — это множество цифр, используемых в записи числа 777 777. В этом числе используется только одна цифра — 7.

Следовательно, множество $D$ равно: $D = \{7\}$.

Найдем объединение множеств $C$ и $D$:

$C \cup D = \{5\} \cup \{7\}$

Объединяя элементы этих двух множеств, получаем:

$C \cup D = \{5, 7\}$.

Ответ: $\{5, 7\}$

447. Запишите все подмножества множества ${1, 2}$.

Пусть дано множество $A = \{1, 2\}$. Подмножеством множества $A$ называется такое множество $B$, что каждый элемент множества $B$ является также элементом множества $A$.

Количество всех подмножеств для множества, состоящего из $n$ элементов, равно $2^n$. В нашем случае множество $A$ состоит из $n=2$ элементов, следовательно, оно имеет $2^2 = 4$ подмножества.

Перечислим все эти подмножества, группируя их по количеству элементов:

1. Подмножество, не содержащее ни одного элемента — это пустое множество. Оно обозначается как $\emptyset$ или $\{\}$.

2. Подмножества, содержащие по одному элементу. Таких подмножеств два: $\{1\}$ и $\{2\}$.

3. Подмножество, содержащее два элемента — это само множество $\{1, 2\}$, так как любое множество является своим собственным подмножеством.

Таким образом, мы нашли все 4 подмножества исходного множества.

Ответ: $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{1, 2\}$.

448. Истинным или ложным является высказывание:

1) ${a} \in \{a, b\}$;

2) ${a} \subset \{a, b\}$;

3) $a \subset \{a, b\}$;

4) $\{a, b\} \in \{a, b\}$?

1) $\{a\} \in \{a, b\}$

Разберем это высказывание. Знак $\in$ означает «является элементом» или «принадлежит». Справа от знака находится множество $\{a, b\}$, элементами которого являются $a$ и $b$. Слева от знака находится множество $\{a\}$, которое состоит из одного элемента $a$.
Вопрос заключается в том, является ли множество $\{a\}$ одним из элементов множества $\{a, b\}$. Элементами множества $\{a, b\}$ являются только $a$ и $b$. Множество $\{a\}$ не является ни элементом $a$, ни элементом $b$.
Следовательно, высказывание ложно. Истинным было бы высказывание $a \in \{a, b\}$.
Ответ: ложно.

2) $\{a\} \subset \{a, b\}$

Разберем это высказывание. Знак $\subset$ означает «является подмножеством». Множество $A$ является подмножеством множества $B$, если каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$.
В данном случае, левое множество — это $\{a\}$, а правое множество — это $\{a, b\}$.
Единственный элемент множества $\{a\}$ — это $a$.
Проверим, является ли элемент $a$ элементом множества $\{a, b\}$. Да, $a$ является элементом множества $\{a, b\}$.
Поскольку все элементы множества $\{a\}$ содержатся в множестве $\{a, b\}$, то высказывание истинно.
Ответ: истинно.

3) $a \subset \{a, b\}$

Разберем это высказывание. Знак $\subset$ означает «является подмножеством». Это отношение определено между двумя множествами.
Слева от знака находится $a$, что является элементом, а не множеством. Справа находится множество $\{a, b\}$.
Отношение «быть подмножеством» не может связывать элемент и множество. Элемент может принадлежать множеству (отношение $\in$), но не может быть его подмножеством.
Поскольку $a$ — это не множество, данное высказывание некорректно с точки зрения формальной записи и считается ложным.
Ответ: ложно.

4) $\{a, b\} \in \{a, b\}$

Разберем это высказывание. Знак $\in$ означает «принадлежит».
Вопрос в том, является ли множество $\{a, b\}$ элементом самого себя.
Элементами множества $\{a, b\}$ являются $a$ и $b$. Ни один из этих элементов не является множеством $\{a, b\}$.
Следовательно, высказывание ложно. Стоит отметить, что высказывание $\{a, b\} \subset \{a, b\}$ было бы истинным, так как любое множество является подмножеством самого себя.
Ответ: ложно.

449. Докажите, что если $A \subset B$ и $B \subset C$, то $A \subset C$.

Это утверждение доказывается на основе определения подмножества.

Определение подмножества: Множество $A$ является подмножеством множества $B$ (обозначается как $A \subset B$) тогда и только тогда, когда каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$.

Нам дано:

1. $A \subset B$. Это значит, что для любого элемента $x$, если $x \in A$, то из этого следует, что $x \in B$.

2. $B \subset C$. Это значит, что для любого элемента $y$, если $y \in B$, то из этого следует, что $y \in C$.

Нам нужно доказать, что $A \subset C$. То есть, нам нужно показать, что для любого элемента $z$, если $z \in A$, то из этого следует, что $z \in C$.

Доказательство:

Возьмем произвольный элемент $a$ из множества $A$. Пусть $a \in A$.

Поскольку $A \subset B$ (из условия 1), то из того, что $a \in A$, следует, что $a \in B$.

Теперь мы знаем, что $a \in B$. Поскольку $B \subset C$ (из условия 2), то из того, что $a \in B$, следует, что $a \in C$.

Таким образом, мы начали с произвольного элемента $a \in A$ и показали, что он также принадлежит множеству $C$ (то есть, $a \in C$).

Так как наш выбор элемента $a$ был произвольным, это рассуждение справедливо для любого элемента множества $A$. Следовательно, каждый элемент множества $A$ является элементом множества $C$.

По определению подмножества, это означает, что $A \subset C$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на свойстве транзитивности. Если взять произвольный элемент $x \in A$, то по условию $A \subset B$ этот элемент также принадлежит множеству $B$ ($x \in B$). Далее, из условия $B \subset C$ следует, что раз $x \in B$, то $x \in C$. Таким образом, мы показали, что любой элемент из $A$ также находится в $C$, что и доказывает включение $A \subset C$.

450. Разместите данные множества в такой последовательности, чтобы каждое следующее множество было подмножеством предыдущего:

1) $A$ – множество прямоугольников, $B$ – множество четырёхугольников, $C$ – множество квадратов, $D$ – множество параллелограммов;

2) $A$ – множество млекопитающих, $B$ – множество псовых, $C$ – множество позвоночных, $D$ – множество волков, $E$ – множество хищных млекопитающих.

1) Чтобы расположить множества так, чтобы каждое следующее было подмножеством предыдущего, их необходимо упорядочить от самого общего понятия к самому частному. Проанализируем отношения между данными множествами геометрических фигур:

Самое общее понятие — это четырёхугольники (множество B).
Любой параллелограмм (множество D) является четырёхугольником, поэтому множество параллелограммов — это подмножество множества четырёхугольников ($D \subset B$).
Любой прямоугольник (множество A) является параллелограммом, поэтому множество прямоугольников — это подмножество множества параллелограммов ($A \subset D$).
Любой квадрат (множество C) является прямоугольником, поэтому множество квадратов — это подмножество множества прямоугольников ($C \subset A$).

Таким образом, выстраивается цепочка вложений: $C \subset A \subset D \subset B$. Следовательно, искомая последовательность множеств, идущая от самого общего к самому частному, выглядит так: B, D, A, C.

Ответ: B, D, A, C.

2) Аналогично первому пункту, выстроим иерархию множеств на основе биологической классификации, двигаясь от самой широкой таксономической группы к самой узкой:

Самая широкая категория из представленных — это позвоночные (множество C).
Млекопитающие (множество A) — это класс в составе позвоночных, поэтому множество млекопитающих является подмножеством множества позвоночных ($A \subset C$).
Хищные млекопитающие (множество E) — это отряд в классе млекопитающих, поэтому множество хищных млекопитающих является подмножеством множества млекопитающих ($E \subset A$).
Псовые (множество B) — это семейство в отряде хищных, поэтому множество псовых является подмножеством множества хищных млекопитающих ($B \subset E$).
Волки (множество D) — это вид (или род) в семействе псовых, поэтому множество волков является подмножеством множества псовых ($D \subset B$).

Таким образом, выстраивается цепочка вложений: $D \subset B \subset E \subset A \subset C$. Следовательно, искомая последовательность множеств, идущая от самого общего к самому частному, выглядит так: C, A, E, B, D.

Ответ: C, A, E, B, D.

451. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера соотношение между множествами:

1) $A$ – множество неотрицательных чисел; $B = \{0\}$; $N$ – множество натуральных чисел;

2) $N$ – множество натуральных чисел; $A$ – множество натуральных чисел, кратных 6; $B$ – множество натуральных чисел, кратных 3.

1)

Для решения этой задачи проанализируем данные множества:

• $A$ — множество неотрицательных чисел. Это числа, которые больше или равны нулю ($x \ge 0$). Это множество включает в себя натуральные числа, ноль, положительные дроби и иррациональные числа.
• $B = \{0\}$ — множество, состоящее из одного элемента, числа 0.
• $N$ — множество натуральных чисел. В математике принято считать, что $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Теперь установим соотношения между этими множествами:

1. Соотношение между $N$ и $A$. Все натуральные числа являются положительными, а значит, и неотрицательными. Следовательно, множество натуральных чисел $N$ является подмножеством множества неотрицательных чисел $A$. Записывается это как $N \subset A$.
2. Соотношение между $B$ и $A$. Множество $B$ состоит из числа 0. Ноль является неотрицательным числом, поэтому множество $B$ также является подмножеством множества $A$. Записывается это как $B \subset A$.
3. Соотношение между $N$ и $B$. Множество $N$ состоит из положительных целых чисел, а множество $B$ — только из нуля. У этих множеств нет общих элементов. Это означает, что их пересечение пусто: $N \cap B = \emptyset$.

Таким образом, $N$ и $B$ — это два непересекающихся подмножества множества $A$.

Ответ: Диаграмма Эйлера будет выглядеть следующим образом: рисуется большой круг (или любая другая замкнутая фигура), который представляет множество $A$. Внутри этого большого круга рисуются два отдельных, непересекающихся круга поменьше. Один из них представляет множество $N$, другой — множество $B$.

2)

Проанализируем данные множества:

• $N$ — множество натуральных чисел, т.е. $N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, ...\}$.
• $A$ — множество натуральных чисел, кратных 6, т.е. $A = \{6, 12, 18, 24, ...\}$.
• $B$ — множество натуральных чисел, кратных 3, т.е. $B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, ...\}$.

Теперь установим соотношения между этими множествами:

1. Соотношение между $A$ и $N$. По определению, множество $A$ состоит из натуральных чисел, значит, оно является подмножеством множества $N$: $A \subset N$.
2. Соотношение между $B$ и $N$. По определению, множество $B$ состоит из натуральных чисел, значит, оно также является подмножеством множества $N$: $B \subset N$.
3. Соотношение между $A$ и $B$. Возьмем любое число из множества $A$. Оно имеет вид $6k$, где $k$ — натуральное число. Поскольку $6 = 2 \times 3$, то любое число вида $6k$ можно записать как $3 \times (2k)$. Это означает, что любое число, кратное 6, также кратно 3. Следовательно, каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$. Это значит, что $A$ является подмножеством $B$: $A \subset B$.

Объединяя все эти соотношения, мы получаем цепочку вложенных множеств: $A \subset B \subset N$.

Ответ: Диаграмма Эйлера будет выглядеть как три вложенных друг в друга круга. Самый большой круг представляет множество натуральных чисел $N$. Внутри него находится круг поменьше, представляющий множество $B$ (числа, кратные 3). А внутри круга $B$ находится самый маленький круг, представляющий множество $A$ (числа, кратные 6).

452. Истинным или ложным является высказывание:

1) ${a, b} \cap \{a\} = a;$

2) ${a, b} \cap \{a\} = \{a, b\};$

3) ${a, b} \cap \{a\} = \{a\};$

4) ${a, b} \cap \{a\} = \{b\}?$

Для определения истинности или ложности каждого высказывания необходимо выполнить операцию пересечения множеств. Пересечением двух множеств (обозначается символом $ \cap $) является множество, содержащее все те и только те элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам.

1) $\{a, b\} \cap \{a\} = a$

Найдём пересечение множеств $\{a, b\}$ и $\{a\}$. Общим элементом для этих двух множеств является только элемент $a$. Следовательно, результатом пересечения является множество, содержащее один элемент $a$, то есть $\{a\}$.
Высказывание утверждает, что результат равен элементу $a$, а не множеству $\{a\}$. В теории множеств элемент и множество, содержащее только этот элемент, не равны. Таким образом, $ \{a\} \neq a $.
Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: ложно.

2) $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a, b\}$

Как мы установили ранее, пересечение множеств $\{a, b\}$ и $\{a\}$ есть множество $\{a\}$.
Высказывание утверждает, что результат равен множеству $\{a, b\}$. Это неверно, так как элемент $b$ не принадлежит множеству $\{a\}$, а значит, не может быть в их пересечении.
Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: ложно.

3) $\{a, b\} \cap \{a\} = \{a\}$

Пересечение множеств $\{a, b\}$ и $\{a\}$ — это множество, состоящее из их общих элементов. Единственный общий элемент — это $a$. Таким образом, результат операции — множество $\{a\}$.
Высказывание утверждает, что $ \{a, b\} \cap \{a\} = \{a\} $, что в точности соответствует результату операции пересечения.
Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: истинно.

4) $\{a, b\} \cap \{a\} = \{b\}$

Результатом пересечения множеств $\{a, b\}$ и $\{a\}$ является множество $\{a\}$.
Высказывание утверждает, что результат равен множеству $\{b\}$. Это неверно, так как элемент $b$ не является общим для обоих множеств.
Следовательно, высказывание ложно.
Ответ: ложно.

453. Найдите пересечение множеств $A$ и $B$, если:

1) $A$ — множество равнобедренных треугольников, $B$ — множество равносторонних треугольников;

2) $A$ — множество прямоугольных треугольников, $B$ — множество равносторонних треугольников;

3) $A$ — множество двузначных чисел, $B$ — множество натуральных чисел, кратных 19;

4) $A$ — множество однозначных чисел, $B$ — множество простых чисел.

1) A — множество равнобедренных треугольников, B — множество равносторонних треугольников

Пересечением множеств A и B является множество элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B. В данном случае нам нужно найти множество треугольников, которые являются одновременно равнобедренными и равносторонними.

По определению, равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны имеют одинаковую длину. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны.

Любой равносторонний треугольник имеет три равные стороны, что автоматически удовлетворяет условию "как минимум две стороны равны". Следовательно, любой равносторонний треугольник является равнобедренным. Это означает, что множество B (равносторонние треугольники) является подмножеством множества A (равнобедренные треугольники), что записывается как $B \subset A$.

Пересечение множества и его подмножества равно самому подмножеству. Таким образом, $A \cap B = B$.

Ответ: множество равносторонних треугольников.

2) A — множество прямоугольных треугольников, B — множество равносторонних треугольников

Нам необходимо найти множество треугольников, которые одновременно являются и прямоугольными, и равносторонними.

У прямоугольного треугольника один из углов равен $90^\circ$.

У равностороннего треугольника все углы равны между собой и составляют $60^\circ$ каждый (так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, а $180^\circ / 3 = 60^\circ$).

Невозможно, чтобы у одного и того же треугольника один угол был равен $90^\circ$, а все три угла были равны $60^\circ$. Эти два свойства являются взаимоисключающими. Следовательно, не существует треугольника, который бы принадлежал к обоим множествам.

Пересечение таких множеств является пустым множеством.

Ответ: пустое множество ($\emptyset$).

3) A — множество двузначных чисел, B — множество натуральных чисел, кратных 19

Пересечением этих двух множеств будут числа, которые являются двузначными (т.е. от 10 до 99 включительно) и при этом делятся на 19 без остатка.

Множество A = $\{10, 11, ..., 99\}$.

Множество B = $\{19, 38, 57, 76, 95, 114, ...\}$.

Найдем все числа, кратные 19, которые являются двузначными:
$19 \times 1 = 19$ (подходит)
$19 \times 2 = 38$ (подходит)
$19 \times 3 = 57$ (подходит)
$19 \times 4 = 76$ (подходит)
$19 \times 5 = 95$ (подходит)
$19 \times 6 = 114$ (не подходит, так как является трехзначным).

Следовательно, общими элементами для множеств A и B являются числа 19, 38, 57, 76 и 95.

Ответ: $\{19, 38, 57, 76, 95\}$.

4) A — множество однозначных чисел, B — множество простых чисел

Нам нужно найти пересечение множества однозначных чисел и множества простых чисел. Это будут числа, которые одновременно являются и простыми, и однозначными.

Множество A однозначных натуральных чисел: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

Рассмотрим каждое число из множества A и проверим, является ли оно простым:
1 — не является простым числом (у него только один делитель).
2 — простое число (делители 1 и 2).
3 — простое число (делители 1 и 3).
4 — не является простым (составное, делители 1, 2, 4).
5 — простое число (делители 1 и 5).
6 — не является простым (составное, делители 1, 2, 3, 6).
7 — простое число (делители 1 и 7).
8 — не является простым (составное, делители 1, 2, 4, 8).
9 — не является простым (составное, делители 1, 3, 9).

Таким образом, однозначными простыми числами являются 2, 3, 5 и 7.

Ответ: $\{2, 3, 5, 7\}$.