Страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какому выражению тождественно равно выражение $ \sqrt{a^2} $?

1.

Для того чтобы определить, какому выражению тождественно равно выражение $\sqrt{a^2}$, необходимо рассмотреть определение арифметического квадратного корня. Арифметический квадратный корень из числа $x$ — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $x$. Ключевым моментом является то, что результат извлечения корня всегда должен быть больше или равен нулю.

Рассмотрим выражение $\sqrt{a^2}$ для различных значений $a$.

Случай 1: $a$ — неотрицательное число ($a \ge 0$).
Если $a=5$, то $\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5$. В этом случае $\sqrt{a^2} = a$.
Если $a=0$, то $\sqrt{0^2} = \sqrt{0} = 0$. В этом случае $\sqrt{a^2} = a$.
Для любого неотрицательного $a$, результат $\sqrt{a^2}$ равен самому числу $a$, так как $a$ уже неотрицательно.

Случай 2: $a$ — отрицательное число ($a < 0$).
Если $a=-5$, то $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$. Результат $5$ является числом, противоположным исходному $a=-5$. То есть, $5 = -(-5) = -a$.
Для любого отрицательного $a$, число $a^2$ будет положительным. Корень из $a^2$ должен быть положительным числом, равным по величине $a$, то есть $-a$.

Таким образом, мы имеем два правила:

• Если $a \ge 0$, то $\sqrt{a^2} = a$.
• Если $a < 0$, то $\sqrt{a^2} = -a$.

Эта кусочно-заданная функция является определением модуля (или абсолютной величины) числа $a$, который обозначается как $|a|$.

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}

Следовательно, тождество имеет вид: $\sqrt{a^2} = |a|$.

Ответ: $|a|$.

2. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из степени.

Формулировка теоремы

Для любого действительного числа $a$ и любого натурального числа $k$ справедливо равенство:

$ \sqrt{a^{2k}} = |a^k| $

Словесно эта теорема звучит так: арифметический квадратный корень из степени с чётным показателем равен модулю основания этой степени, показатель которой вдвое меньше показателя подкоренного выражения.

Обоснование и доказательство

Ключевым моментом в этой теореме является наличие модуля в правой части равенства. Это требование вытекает непосредственно из определения арифметического квадратного корня: результат его извлечения не может быть отрицательным числом. Однако выражение $a^k$ (без модуля) может быть отрицательным.

Пример:
Рассмотрим вычисление выражения $\sqrt{(-2)^6}$.

С одной стороны, выполнив сначала возведение в степень, а затем извлечение корня, получим: $\sqrt{(-2)^6} = \sqrt{64} = 8$.

С другой стороны, применим теорему. В данном случае $a = -2$ и $2k = 6$, следовательно, $k=3$. Применяя формулу, получаем:

$\sqrt{(-2)^6} = |(-2)^3| = |-8| = 8$.

Результаты совпадают. Если бы в формуле отсутствовал знак модуля, мы бы пришли к неверному равенству: $\sqrt{(-2)^6} = (-2)^3$, что означало бы $8 = -8$. Это противоречие и объясняет, почему модуль в данной теореме обязателен.

Частным, но очень важным случаем этой теоремы является ситуация, когда $k=1$:

$ \sqrt{a^2} = |a| $

Формальное доказательство

Для доказательства тождества $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$ необходимо показать, что для выражения $Y = |a^k|$ выполняются два условия, которым должен удовлетворять арифметический квадратный корень из $X = a^{2k}$:

1. $Y \ge 0$ (значение корня неотрицательно).
2. $Y^2 = X$ (квадрат корня равен подкоренному выражению).

Проверим оба условия для $Y = |a^k|$ и $X = a^{2k}$:

1. Проверка неотрицательности: По определению модуля, $|a^k| \ge 0$ для любых действительных $a$ и натуральных $k$. Первое условие выполнено.

2. Проверка возведения в квадрат: Необходимо проверить равенство $(|a^k|)^2 = a^{2k}$. Квадрат модуля любого числа равен квадрату самого этого числа, то есть $|b|^2 = b^2$. Следовательно, $(|a^k|)^2 = (a^k)^2$. По свойству возведения степени в степень $((b^m)^n = b^{mn})$, имеем $(a^k)^2 = a^{k \cdot 2} = a^{2k}$. Второе условие также выполнено.

Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня выполняются, теорема доказана.

Ответ: Теорема об арифметическом квадратном корне из степени гласит, что для любого числа $a$ и любого натурального числа $k$ справедливо тождество $\sqrt{a^{2k}} = |a^k|$.

3. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из произведения.

3. Теорема об арифметическом квадратном корне из произведения формулируется следующим образом:

Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей.

В виде формулы для двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ (то есть при $a \ge 0$ и $b \ge 0$) это выглядит так:

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Теорема также верна для произведения трех и более неотрицательных множителей:

$\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$ (при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$)

Доказательство теоремы:

Чтобы доказать равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a \ge 0$ и $b \ge 0$, нужно показать, что выражение в правой части, то есть $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, удовлетворяет двум условиям определения арифметического квадратного корня:

1. Оно неотрицательно.
2. Его квадрат равен подкоренному выражению $a \cdot b$.

Проверим оба условия:

1. Неотрицательность. По условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$. По определению арифметического корня, $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел всегда неотрицательно, поэтому $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \ge 0$. Первое условие выполняется.

2. Возведение в квадрат. Возведем выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ в квадрат, используя свойство степени произведения: $(xy)^n = x^n y^n$.

$(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2$

По определению квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$. Следовательно:

$(\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = a \cdot b$

Второе условие также выполняется.

Поскольку оба условия выполнены, выражение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ является арифметическим квадратным корнем из $a \cdot b$. Таким образом, теорема доказана.

Примеры использования:

• $\sqrt{36 \cdot 49} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{49} = 6 \cdot 7 = 42$
• $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ (Вынесение множителя из-под знака корня)

Ответ: Арифметический квадратный корень из произведения двух (или более) неотрицательных множителей равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей. В виде формулы: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для любых $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

4. Сформулируйте теорему об арифметическом квадратном корне из дроби.

Теорема об арифметическом квадратном корне из дроби формулируется следующим образом:
Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой является неотрицательным числом, а знаменатель — положительным числом, равен частному от деления арифметического квадратного корня из числителя на арифметический квадратный корень из знаменателя.

Это утверждение можно записать в виде формулы. Для любого неотрицательного числа $a$ ($a \ge 0$) и любого положительного числа $b$ ($b > 0$) справедливо равенство:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

Доказательство этой теоремы основывается на определении арифметического квадратного корня. Нам нужно показать, что выражение, стоящее в правой части равенства ($\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$), удовлетворяет двум условиям:
1) оно неотрицательно;
2) его квадрат равен подкоренному выражению ($\frac{a}{b}$).

Рассмотрим оба условия по порядку:
1) Так как по условию $a \ge 0$ и $b > 0$, то по определению арифметического корня $\sqrt{a} \ge 0$ и $\sqrt{b} > 0$. Частное неотрицательного числа и положительного числа всегда неотрицательно. Таким образом, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ge 0$. Первое условие выполнено.

2) Теперь возведем правую часть в квадрат, используя свойство степени дроби: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.
$(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}$
По определению арифметического квадратного корня, квадрат корня из числа равен самому этому числу, то есть $(\sqrt{a})^2 = a$ и $(\sqrt{b})^2 = b$.
Следовательно, $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})^2 = \frac{a}{b}$. Второе условие также выполнено.

Поскольку оба условия определения арифметического квадратного корня выполняются, равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ доказано.

Ответ: Теорема об арифметическом квадратном корне из дроби: если числитель дроби $a$ неотрицателен ($a \ge 0$), а знаменатель $b$ положителен ($b > 0$), то корень из этой дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя. Формула: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

5. Известно, что неотрицательные числа $a_1$ и $a_2$ таковы, что $a_1 > a_2$.

Сравните значения выражений $\sqrt{a_1}$ и $\sqrt{a_2}$.

Для того чтобы сравнить значения выражений $\sqrt{a_1}$ и $\sqrt{a_2}$, можно воспользоваться свойствами функции квадратного корня или провести алгебраические преобразования.

Способ 1: Использование свойств функции

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x}$. Эта функция определена для всех неотрицательных значений аргумента $x \ge 0$ и является строго возрастающей на всей своей области определения. Свойство строгой возрастающей функции заключается в том, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть, если $x_1 > x_2$, то и $f(x_1) > f(x_2)$.

В нашем случае в качестве аргументов выступают числа $a_1$ и $a_2$. По условию, это неотрицательные числа и $a_1 > a_2$. Так как они оба принадлежат области определения функции $y=\sqrt{x}$, мы можем применить свойство возрастания. Из того, что $a_1 > a_2$, напрямую следует, что $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$.

Способ 2: Алгебраическое сравнение

Сравним два неотрицательных выражения $\sqrt{a_1}$ и $\sqrt{a_2}$ методом от противного или рассмотрев их разность. Составим разность выражений и определим ее знак:

$\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2}$

Чтобы избавиться от корней, домножим и разделим это выражение на сопряженное ему $(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2})$, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2} = \frac{(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2})(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2})}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} = \frac{(\sqrt{a_1})^2 - (\sqrt{a_2})^2}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} = \frac{a_1 - a_2}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}}$

Теперь проанализируем знак полученной дроби:

1. Числитель: $a_1 - a_2$. По условию $a_1 > a_2$, следовательно, разность $a_1 - a_2$ является положительным числом ($a_1 - a_2 > 0$).

2. Знаменатель: $\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}$. По условию $a_1$ и $a_2$ неотрицательны, и $a_1 > a_2 \ge 0$. Это значит, что $a_1$ — строго положительное число, поэтому $\sqrt{a_1} > 0$. Корень $\sqrt{a_2}$ является неотрицательным числом ($\sqrt{a_2} \ge 0$). Сумма положительного и неотрицательного числа всегда положительна, поэтому $\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} > 0$.

Так как и числитель, и знаменатель дроби положительны, то значение всей дроби также положительно. Это означает, что разность, с которой мы начали, больше нуля:

$\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2} > 0$

Перенеся $\sqrt{a_2}$ в правую часть неравенства, получаем искомое соотношение:

$\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$.

496. Чему равно значение выражения:

1) $\sqrt{0,4^2}$;

2) $\sqrt{(-1,8)^2}$;

3) $2\sqrt{(-15)^2}$;

4) $3\sqrt{1,2^2}$;

5) $\sqrt{6^4}$;

6) $\sqrt{(-2)^{10}}$;

7) $5\sqrt{(-10)^4}$;

8) $-4\sqrt{(-1)^{14}}$;

9) $-10\sqrt{3^6}$?

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{0,4^2}$ воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Поскольку $0,4$ является положительным числом, его модуль равен самому числу.

$\sqrt{0,4^2} = |0,4| = 0,4$.

Ответ: $0,4$.

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt{(-1,8)^2}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.

$\sqrt{(-1,8)^2} = |-1,8| = 1,8$.

Ответ: $1,8$.

3) Сначала вычислим значение подкоренного выражения, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, а затем умножим результат на коэффициент перед корнем.

$2\sqrt{(-15)^2} = 2 \cdot |-15| = 2 \cdot 15 = 30$.

Ответ: $30$.

4) Сначала вычислим значение подкоренного выражения, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, а затем умножим результат на коэффициент перед корнем.

$3\sqrt{1,2^2} = 3 \cdot |1,2| = 3 \cdot 1,2 = 3,6$.

Ответ: $3,6$.

5) Для вычисления значения выражения $\sqrt{6^4}$ можно использовать свойство степени $\sqrt{a^{2n}} = |a^n|$.

$\sqrt{6^4} = \sqrt{(6^2)^2} = |6^2| = 6^2 = 36$.

Также можно использовать свойство корня из степени для неотрицательных чисел: $\sqrt{a^k} = a^{k/2}$.

$\sqrt{6^4} = 6^{4/2} = 6^2 = 36$.

Ответ: $36$.

6) Для вычисления значения выражения $\sqrt{(-2)^{10}}$ сначала заметим, что отрицательное число в чётной степени является положительным числом: $(-2)^{10} = 2^{10}$.

$\sqrt{(-2)^{10}} = \sqrt{2^{10}} = 2^{10/2} = 2^5 = 32$.

Альтернативный способ — представить степень под корнем как квадрат другого выражения:

$\sqrt{(-2)^{10}} = \sqrt{((-2)^5)^2} = |(-2)^5| = |-32| = 32$.

Ответ: $32$.

7) Сначала упростим выражение под корнем. Так как степень чётная, $(-10)^4 = 10^4$.

$5\sqrt{(-10)^4} = 5\sqrt{10^4} = 5 \cdot 10^{4/2} = 5 \cdot 10^2 = 5 \cdot 100 = 500$.

Ответ: $500$.

8) Сначала упростим выражение под корнем. Число $-1$ в чётной степени $14$ равно $1$.

$(-1)^{14} = 1$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$-4\sqrt{(-1)^{14}} = -4\sqrt{1} = -4 \cdot 1 = -4$.

Ответ: $-4$.

9) Сначала вычислим значение корня, а затем умножим на коэффициент. Воспользуемся свойством $\sqrt{a^k} = a^{k/2}$ для $a \ge 0$.

$\sqrt{3^6} = 3^{6/2} = 3^3 = 27$.

Теперь выполним умножение:

$-10\sqrt{3^6} = -10 \cdot 27 = -270$.

Ответ: $-270$.

497. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{a^2}$, если $a=4,6$; $-18,6$;

2) $\sqrt{b^4}$, если $b=-3$; $1,2$;

3) $0.1\sqrt{c^6}$, если $c=-2$; $5$.

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt{a^2}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, согласно которому $\sqrt{x^2} = |x|$. Таким образом, нам нужно найти модуль числа $a$.
- При $a = 4,6$:
$\sqrt{a^2} = |a| = |4,6| = 4,6$.
- При $a = -18,6$:
$\sqrt{a^2} = |a| = |-18,6| = 18,6$.
Ответ: 4,6; 18,6.

2) Для нахождения значения выражения $\sqrt{b^4}$ преобразуем подкоренное выражение, используя свойство степени: $b^4 = (b^2)^2$. Тогда выражение примет вид $\sqrt{(b^2)^2}$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем $\sqrt{(b^2)^2} = |b^2|$.
Так как квадрат любого действительного числа ($b^2$) всегда неотрицателен, то $|b^2| = b^2$.
Следовательно, $\sqrt{b^4} = b^2$.
- При $b = -3$:
$b^2 = (-3)^2 = 9$.
- При $b = 1,2$:
$b^2 = (1,2)^2 = 1,44$.
Ответ: 9; 1,44.

3) Для нахождения значения выражения $0,1\sqrt{c^6}$ сначала упростим корень. Используя свойство степени, $c^6 = (c^3)^2$.
Тогда $\sqrt{c^6} = \sqrt{(c^3)^2}$. По свойству корня $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем $\sqrt{(c^3)^2} = |c^3|$.
Исходное выражение равно $0,1|c^3|$.
- При $c = -2$:
$0,1|(-2)^3| = 0,1|-8| = 0,1 \cdot 8 = 0,8$.
- При $c = 5$:
$0,1|5^3| = 0,1|125| = 0,1 \cdot 125 = 12,5$.
Ответ: 0,8; 12,5.