Номер 5, страница 129 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 5, страница 129.

Условие.

5. Известно, что неотрицательные числа $a_1$ и $a_2$ таковы, что $a_1 > a_2$.

Сравните значения выражений $\sqrt{a_1}$ и $\sqrt{a_2}$.

Решение 2.

Решение 8.

Для того чтобы сравнить значения выражений $\sqrt{a_1}$ и $\sqrt{a_2}$, можно воспользоваться свойствами функции квадратного корня или провести алгебраические преобразования.

Способ 1: Использование свойств функции

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x}$. Эта функция определена для всех неотрицательных значений аргумента $x \ge 0$ и является строго возрастающей на всей своей области определения. Свойство строгой возрастающей функции заключается в том, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть, если $x_1 > x_2$, то и $f(x_1) > f(x_2)$.

В нашем случае в качестве аргументов выступают числа $a_1$ и $a_2$. По условию, это неотрицательные числа и $a_1 > a_2$. Так как они оба принадлежат области определения функции $y=\sqrt{x}$, мы можем применить свойство возрастания. Из того, что $a_1 > a_2$, напрямую следует, что $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$.

Способ 2: Алгебраическое сравнение

Сравним два неотрицательных выражения $\sqrt{a_1}$ и $\sqrt{a_2}$ методом от противного или рассмотрев их разность. Составим разность выражений и определим ее знак:

$\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2}$

Чтобы избавиться от корней, домножим и разделим это выражение на сопряженное ему $(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2})$, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2} = \frac{(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2})(\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2})}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} = \frac{(\sqrt{a_1})^2 - (\sqrt{a_2})^2}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}} = \frac{a_1 - a_2}{\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}}$

Теперь проанализируем знак полученной дроби:

1. Числитель: $a_1 - a_2$. По условию $a_1 > a_2$, следовательно, разность $a_1 - a_2$ является положительным числом ($a_1 - a_2 > 0$).

2. Знаменатель: $\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2}$. По условию $a_1$ и $a_2$ неотрицательны, и $a_1 > a_2 \ge 0$. Это значит, что $a_1$ — строго положительное число, поэтому $\sqrt{a_1} > 0$. Корень $\sqrt{a_2}$ является неотрицательным числом ($\sqrt{a_2} \ge 0$). Сумма положительного и неотрицательного числа всегда положительна, поэтому $\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} > 0$.

Так как и числитель, и знаменатель дроби положительны, то значение всей дроби также положительно. Это означает, что разность, с которой мы начали, больше нуля:

$\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2} > 0$

Перенеся $\sqrt{a_2}$ в правую часть неравенства, получаем искомое соотношение:

$\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\sqrt{a_1} > \sqrt{a_2}$.