Номер 495, страница 124 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Упражнения - номер 495, страница 124.

Условие.

495. В роте 100 солдат. Каждую ночь на дежурство выходят три солдата. Можно ли так организовать дежурство, чтобы через некоторое время каждый солдат побывал на дежурстве с каждым из остальных солдат ровно один раз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Предположим, что такое расписание дежурств составить можно. Рассмотрим одного произвольного солдата, назовем его рядовой Иванов.

По условию задачи, рядовой Иванов должен побывать на дежурстве с каждым из остальных $100 - 1 = 99$ солдат ровно один раз. Каждую ночь на дежурство выходят трое солдат. Это означает, что каждый раз, когда рядовой Иванов заступает на дежурство, он делает это в компании двух других солдат.

Таким образом, за одно дежурство рядовой Иванов выполняет условие ("побывал на дежурстве с...") для двух других солдат. Чтобы выполнить это условие для всех 99 солдат, они должны быть сгруппированы в пары. То есть, общее количество солдат, с которыми Иванов должен отслужить, должно быть четным.

Однако число 99 является нечетным. Невозможно разделить 99 солдат на группы по 2 человека без остатка. Если рядовой Иванов отслужит $k$ дежурств, он побывает на дежурстве с $2 \times k$ солдатами. Не существует такого целого числа $k$ (количество дежурств), для которого выполнялось бы равенство $2 \times k = 99$, так как $k = 99 / 2 = 49.5$, что не является целым числом.

Это противоречие доказывает, что исходное предположение неверно. Следовательно, организовать дежурство таким образом невозможно.

Ответ: Нет, так организовать дежурство нельзя.