Номер 2, страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Числовые множества. Открытие иррациональности. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 2, страница 126.

Условие.

2. Докажите, что если натуральное число $n$ не является квадратом натурального числа, то число $\sqrt{n}$ – иррациональное.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 8.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что обратное утверждение верно. То есть, пусть натуральное число $n$ не является квадратом натурального числа, но при этом число $\sqrt{n}$ является рациональным.

По определению, любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа ($p \in \mathbb{N}, q \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель равен 1 (то есть, они взаимно простые).

Итак, пусть: $ \sqrt{n} = \frac{p}{q} $

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня: $ (\sqrt{n})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2 $ $ n = \frac{p^2}{q^2} $

Теперь выразим $p^2$, умножив обе части уравнения на $q^2$: $ n \cdot q^2 = p^2 $

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на $q^2$ без остатка. Однако по нашему первоначальному условию, дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой, а значит, числа $p$ и $q$ взаимно простые. Если два числа взаимно простые, то и их квадраты ($p^2$ и $q^2$) также являются взаимно простыми.

Единственный случай, когда одно натуральное число ($p^2$) делится на другое взаимно простое с ним натуральное число ($q^2$), это когда делитель равен единице. Следовательно, $q^2 = 1$.

Поскольку $q$ — натуральное число, из $q^2 = 1$ следует, что $q=1$.

Теперь подставим значение $q=1$ в наше равенство $n = \frac{p^2}{q^2}$: $ n = \frac{p^2}{1^2} $ $ n = p^2 $

Мы пришли к выводу, что $n$ является квадратом натурального числа $p$. Но это напрямую противоречит исходному условию задачи, которое гласит, что "натуральное число $n$ не является квадратом натурального числа".

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что $\sqrt{n}$ является рациональным числом, было неверным. Следовательно, число $\sqrt{n}$ должно быть иррациональным.

Ответ: Утверждение доказано. Если натуральное число $n$ не является полным квадратом, то $\sqrt{n}$ — иррациональное число.