Страница 126 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Докажите, что число $\sqrt{3}$ – иррациональное.

1.

Для доказательства иррациональности числа `$\sqrt{3}$` воспользуемся методом от противного.

Предположим, что `$\sqrt{3}$` — рациональное число. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби `$\frac{p}{q}$`, где `$p$` — целое число (`$p \in \mathbb{Z}$`), а `$q$` — натуральное число (`$q \in \mathbb{N}$`), и при этом наибольший общий делитель чисел `$p$` и `$q$` равен 1 (они взаимно просты).

Итак, пусть `$\sqrt{3} = \frac{p}{q}$`.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

`$(\sqrt{3})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2$`

`$3 = \frac{p^2}{q^2}$`

Умножим обе части на `$q^2$`, чтобы избавиться от знаменателя:

`$3q^2 = p^2$`

Из этого равенства следует, что `$p^2$` делится на 3. Поскольку 3 — простое число, то если квадрат целого числа (`$p^2$`) делится на 3, то и само число (`$p$`) также должно делиться на 3. Следовательно, `$p$` можно представить в виде `$p = 3k$`, где `$k$` — некоторое целое число (`$k \in \mathbb{Z}$`).

Подставим выражение для `$p$` обратно в уравнение `$3q^2 = p^2$`:

`$3q^2 = (3k)^2$`

`$3q^2 = 9k^2$`

Разделим обе части на 3:

`$q^2 = 3k^2$`

Из этого нового равенства следует, что `$q^2$` также делится на 3. По той же причине, что и для `$p$`, само число `$q$` тоже должно делиться на 3.

Таким образом, мы установили, что и числитель `$p$`, и знаменатель `$q$` нашей дроби делятся на 3. Это означает, что у них есть общий делитель, равный 3. Данный вывод противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь `$\frac{p}{q}$` является несократимой (т.е. что `$p$` и `$q$` взаимно просты).

Так как наше исходное предположение о рациональности числа `$\sqrt{3}$` привело к противоречию, оно является ложным. Следовательно, число `$\sqrt{3}$` не может быть представлено в виде дроби и является иррациональным.

Ответ: Доказано, что число `$\sqrt{3}$` является иррациональным.

2. Докажите, что если натуральное число $n$ не является квадратом натурального числа, то число $\sqrt{n}$ – иррациональное.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что обратное утверждение верно. То есть, пусть натуральное число $n$ не является квадратом натурального числа, но при этом число $\sqrt{n}$ является рациональным.

По определению, любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа ($p \in \mathbb{N}, q \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель равен 1 (то есть, они взаимно простые).

Итак, пусть: $ \sqrt{n} = \frac{p}{q} $

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы избавиться от корня: $ (\sqrt{n})^2 = \left(\frac{p}{q}\right)^2 $ $ n = \frac{p^2}{q^2} $

Теперь выразим $p^2$, умножив обе части уравнения на $q^2$: $ n \cdot q^2 = p^2 $

Из этого равенства следует, что $p^2$ делится на $q^2$ без остатка. Однако по нашему первоначальному условию, дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой, а значит, числа $p$ и $q$ взаимно простые. Если два числа взаимно простые, то и их квадраты ($p^2$ и $q^2$) также являются взаимно простыми.

Единственный случай, когда одно натуральное число ($p^2$) делится на другое взаимно простое с ним натуральное число ($q^2$), это когда делитель равен единице. Следовательно, $q^2 = 1$.

Поскольку $q$ — натуральное число, из $q^2 = 1$ следует, что $q=1$.

Теперь подставим значение $q=1$ в наше равенство $n = \frac{p^2}{q^2}$: $ n = \frac{p^2}{1^2} $ $ n = p^2 $

Мы пришли к выводу, что $n$ является квадратом натурального числа $p$. Но это напрямую противоречит исходному условию задачи, которое гласит, что "натуральное число $n$ не является квадратом натурального числа".

Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что $\sqrt{n}$ является рациональным числом, было неверным. Следовательно, число $\sqrt{n}$ должно быть иррациональным.

Ответ: Утверждение доказано. Если натуральное число $n$ не является полным квадратом, то $\sqrt{n}$ — иррациональное число.