Страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

513. Упростите выражение:

1) $\sqrt{9a^{16}}$;

2) $\sqrt{0,81d^6}$, если $d \geq 0$;

3) $-5\sqrt{4x^2}$, если $x \leq 0$;

4) $-0,1\sqrt{100z^{10}}$, если $z \geq 0$;

5) $\sqrt{p^6q^8}$, если $p \geq 0$;

6) $\sqrt{25m^{34}n^{38}}$, если $m \leq 0, n \leq 0$;

7) $ab^2\sqrt{a^4b^{18}c^{22}}$, если $b \geq 0, c \leq 0$;

8) $-\frac{8m^3p^4}{k^2}\sqrt{\frac{625k^{30}p^{40}}{144m^6}}$, если $m < 0, k > 0$.

1)
Используем свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и основное тождество для квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$.
$\sqrt{9a^{16}} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{a^{16}} = 3 \cdot \sqrt{(a^8)^2}$.
Применяя тождество, получаем $3 \cdot |a^8|$.
Так как показатель степени 8 — четное число, выражение $a^8$ всегда неотрицательно ($a^8 \ge 0$) для любого действительного значения $a$. Следовательно, модуль можно опустить: $|a^8| = a^8$.
В результате получаем $3a^8$.
Ответ: $3a^8$.

2)
Разложим подкоренное выражение на множители:
$\sqrt{0,81d^6} = \sqrt{0,81} \cdot \sqrt{d^6} = 0,9 \cdot \sqrt{(d^3)^2}$.
Используем правило $\sqrt{y^2} = |y|$, получаем $0,9 \cdot |d^3|$.
По условию $d \ge 0$. Если основание степени неотрицательно, то и нечетная степень этого числа $d^3$ также будет неотрицательной ($d^3 \ge 0$).
Следовательно, $|d^3| = d^3$.
Окончательное выражение: $0,9d^3$.
Ответ: $0,9d^3$.

3)
Сначала упростим выражение под корнем:
$\sqrt{4x^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^2} = 2 \cdot |x|$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$-5\sqrt{4x^2} = -5 \cdot (2|x|) = -10|x|$.
По условию задачи $x \le 0$. Согласно определению модуля, если переменная неположительна, ее модуль равен этой переменной, умноженной на -1, то есть $|x| = -x$.
Заменяем $|x|$ на $-x$:
$-10|x| = -10(-x) = 10x$.
Ответ: $10x$.

4)
Упростим выражение с корнем:
$\sqrt{100z^{10}} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{z^{10}} = 10 \cdot \sqrt{(z^5)^2} = 10|z^5|$.
Подставим результат в исходное выражение:
$-0,1 \cdot (10|z^5|) = -1 \cdot |z^5| = -|z^5|$.
По условию $z \ge 0$. Если $z$ неотрицательно, то и $z^5$ также неотрицательно ($z^5 \ge 0$).
Следовательно, $|z^5| = z^5$.
Окончательный результат: $-z^5$.
Ответ: $-z^5$.

5)
Применим свойство корня из произведения:
$\sqrt{p^6q^8} = \sqrt{p^6} \cdot \sqrt{q^8} = \sqrt{(p^3)^2} \cdot \sqrt{(q^4)^2}$.
Используя формулу $\sqrt{x^2} = |x|$, выражение принимает вид $|p^3| \cdot |q^4|$.
Раскроем модули с учетом условий.
По условию $p \ge 0$, значит $p^3 \ge 0$ и $|p^3| = p^3$.
Выражение $q^4$ всегда неотрицательно, так как имеет четный показатель степени (4), поэтому $|q^4| = q^4$ для любого $q$.
Собираем все вместе: $p^3 \cdot q^4 = p^3q^4$.
Ответ: $p^3q^4$.

6)
Разобьем подкоренное выражение на множители:
$\sqrt{25m^{34}n^{38}} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{m^{34}} \cdot \sqrt{n^{38}} = 5 \cdot \sqrt{(m^{17})^2} \cdot \sqrt{(n^{19})^2}$.
Применяя правило $\sqrt{y^2} = |y|$, получаем: $5 \cdot |m^{17}| \cdot |n^{19}|$.
Рассмотрим модули с учетом заданных условий: $m \le 0, n \le 0$.
Так как $m \le 0$ и 17 — нечетное число, то $m^{17} \le 0$. Следовательно, $|m^{17}| = -m^{17}$.
Аналогично, так как $n \le 0$ и 19 — нечетное число, то $n^{19} \le 0$. Следовательно, $|n^{19}| = -n^{19}$.
Подставляем раскрытые модули в выражение:
$5 \cdot (-m^{17}) \cdot (-n^{19}) = 5m^{17}n^{19}$.
Ответ: $5m^{17}n^{19}$.

7)
Сначала упростим корень в выражении:
$\sqrt{a^4b^{18}c^{22}} = \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{(b^9)^2} \cdot \sqrt{(c^{11})^2} = |a^2| \cdot |b^9| \cdot |c^{11}|$.
Теперь раскроем модули с учетом условий $b \ge 0, c \le 0$.
Выражение $a^2$ всегда неотрицательно, поэтому $|a^2| = a^2$.
По условию $b \ge 0$, значит нечетная степень $b^9 \ge 0$, и $|b^9| = b^9$.
По условию $c \le 0$. Так как 11 — нечетный показатель, то $c^{11} \le 0$. Значит, $|c^{11}| = -c^{11}$.
Таким образом, $\sqrt{a^4b^{18}c^{22}} = a^2 \cdot b^9 \cdot (-c^{11}) = -a^2b^9c^{11}$.
Подставим это в исходное выражение:
$ab^2 \cdot (-a^2b^9c^{11}) = -a^{1+2}b^{2+9}c^{11} = -a^3b^{11}c^{11}$.
Ответ: $-a^3b^{11}c^{11}$.

8)
Упростим выражение по частям. Сначала извлечем корень, используя свойства $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и $\sqrt{x^2}=|x|$.
$\sqrt{\frac{625k^{30}p^{40}}{144m^6}} = \frac{\sqrt{625k^{30}p^{40}}}{\sqrt{144m^6}} = \frac{25|k^{15}||p^{20}|}{12|m^3|}$.
Теперь раскроем модули с учетом данных условий $m < 0, k > 0$.
Поскольку $k > 0$, то $k^{15} > 0$, следовательно $|k^{15}| = k^{15}$.
Выражение $p^{20}$ всегда неотрицательно, так как имеет четный показатель, поэтому $|p^{20}| = p^{20}$.
Поскольку $m < 0$, то $m^3 < 0$ (так как 3 — нечетная степень), следовательно $|m^3| = -m^3$.
Подставляем раскрытые модули в выражение для корня:
$\frac{25 \cdot k^{15} \cdot p^{20}}{12 \cdot (-m^3)} = -\frac{25k^{15}p^{20}}{12m^3}$.
Теперь умножим полученный результат на множитель перед корнем:
$-\frac{8m^3p^4}{k^2} \cdot \left(-\frac{25k^{15}p^{20}}{12m^3}\right) = \frac{8m^3p^4}{k^2} \cdot \frac{25k^{15}p^{20}}{12m^3}$.
Сокращаем числовые коэффициенты и переменные:
$\frac{8 \cdot 25}{12} \cdot \frac{m^3}{m^3} \cdot \frac{k^{15}}{k^2} \cdot p^4 p^{20} = \frac{2 \cdot 25}{3} \cdot 1 \cdot k^{15-2} \cdot p^{4+20} = \frac{50}{3}k^{13}p^{24}$.
Ответ: $\frac{50}{3}k^{13}p^{24}$.

514. Какие из данных равенств выполняются при всех действительных значениях a:

1) $\sqrt{a^2} = a;$

2) $\sqrt{a^4} = a^2;$

3) $\sqrt{a^6} = a^3;$

4) $\sqrt{a^8} = a^4?`$

Для определения, какие из данных равенств выполняются при всех действительных значениях a, необходимо проанализировать каждое из них, используя основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$ для любого действительного числа x. По определению, результат извлечения квадратного корня не может быть отрицательным.

1) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = a$.

Согласно свойству корня, левая часть равенства преобразуется к виду $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, исходное равенство эквивалентно $|a| = a$. Это соотношение верно только для неотрицательных значений, то есть при $a \ge 0$. Для отрицательных a равенство не выполняется. Например, при $a = -3$:
Левая часть: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.
Правая часть: $a = -3$.
Так как $3 \ne -3$, равенство не выполняется для всех действительных a.

Ответ: не выполняется.

2) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^4} = a^2$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $a^4 = (a^2)^2$. Тогда $\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2|$.
Поскольку для любого действительного числа a выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), то модуль этого выражения равен самому выражению: $|a^2| = a^2$. Следовательно, равенство $\sqrt{a^4} = a^2$ выполняется для всех действительных значений a.

Ответ: выполняется.

3) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^6} = a^3$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $a^6 = (a^3)^2$. Тогда $\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$.
Равенство $|a^3| = a^3$ верно только в том случае, если $a^3 \ge 0$, что эквивалентно $a \ge 0$. Для отрицательных a равенство не выполняется. Например, при $a = -2$:
Левая часть: $\sqrt{(-2)^6} = \sqrt{64} = 8$.
Правая часть: $a^3 = (-2)^3 = -8$.
Так как $8 \ne -8$, равенство неверно для отрицательных a.

Ответ: не выполняется.

4) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^8} = a^4$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $a^8 = (a^4)^2$. Тогда $\sqrt{a^8} = \sqrt{(a^4)^2} = |a^4|$.
Поскольку для любого действительного числа a выражение $a^4$ (возведение в четную степень) всегда неотрицательно ($a^4 \ge 0$), то модуль этого выражения равен самому выражению: $|a^4| = a^4$. Следовательно, равенство $\sqrt{a^8} = a^4$ выполняется для всех действительных значений a.

Ответ: выполняется.

515. При каких значениях a выполняется равенство:

1) $\sqrt{a^{10}} = a^5$;

2) $\sqrt{a^{10}} = -a^5$;

3) $\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2$;

4) $\sqrt{a^2} = (\sqrt{-a})^2$?

1) В равенстве $\sqrt{a^{10}} = a^5$ преобразуем левую часть. Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем $\sqrt{a^{10}} = \sqrt{(a^5)^2} = |a^5|$. Таким образом, исходное равенство равносильно уравнению $|a^5| = a^5$. По определению модуля, это равенство верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $a^5 \ge 0$. Данное неравенство выполняется при $a \ge 0$. Ответ: $a \ge 0$.

2) В равенстве $\sqrt{a^{10}} = -a^5$ левая часть, как и в предыдущем пункте, равна $|a^5|$. Исходное равенство принимает вид $|a^5| = -a^5$. По определению модуля, равенство вида $|x| = -x$ верно тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $a^5 \le 0$. Данное неравенство выполняется при $a \le 0$. Ответ: $a \le 0$.

3) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2$. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Левая часть $\sqrt{a^2}$ определена для любого действительного числа $a$. Правая часть $(\sqrt{a})^2$ определена только тогда, когда выражение под корнем неотрицательно, то есть $a \ge 0$. Следовательно, ОДЗ для всего равенства: $a \ge 0$. При $a \ge 0$ левая часть равна $\sqrt{a^2} = |a| = a$, и правая часть равна $(\sqrt{a})^2 = a$. Равенство $a=a$ верно для всех значений $a$ из ОДЗ. Ответ: $a \ge 0$.

4) Рассмотрим равенство $\sqrt{a^2} = (\sqrt{-a})^2$. Найдем область допустимых значений. Левая часть $\sqrt{a^2}$ определена для любого $a \in \mathbb{R}$. Правая часть $(\sqrt{-a})^2$ определена при $-a \ge 0$, что равносильно $a \le 0$. Следовательно, ОДЗ для всего равенства: $a \le 0$. При $a \le 0$ левая часть равна $\sqrt{a^2} = |a| = -a$, а правая часть равна $(\sqrt{-a})^2 = -a$. Равенство $-a=-a$ верно для всех значений $a$ из ОДЗ. Ответ: $a \le 0$.

516. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x^2} - x$, если $x \le 0$;

2) $y = 2x + \sqrt{x^2}$;

3) $y = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$;

4) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} + 3$.

1) $y = \sqrt{x^2} - x$, если $x \le 0$

Сначала упростим данное выражение. По определению, $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому $\sqrt{x^2} = |x|$. Функция принимает вид: $y = |x| - x$.

По условию задачи, мы рассматриваем функцию только для $x \le 0$. При $x \le 0$ модуль раскрывается следующим образом: $|x| = -x$.

Подставим это в нашу функцию: $y = (-x) - x = -2x$.

Таким образом, нам нужно построить график линейной функции $y = -2x$ на промежутке $(-\infty, 0]$. Графиком является луч. Для его построения найдем координаты двух точек:

• Если $x=0$, то $y = -2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x=-1$, то $y = -2 \cdot (-1) = 2$. Точка $(-1, 2)$.

Соединяем эти точки и получаем луч, начинающийся в точке $(0,0)$ и проходящий через точку $(-1, 2)$.

Ответ: График функции является лучом $y = -2x$ с началом в точке $(0, 0)$, расположенным во второй координатной четверти.

2) $y = 2x + \sqrt{x^2}$

Упростим выражение, используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$. Функция принимает вид: $y = 2x + |x|$.

Это кусочно-заданная функция. Чтобы построить ее график, нужно раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

• При $x \ge 0$: Модуль раскрывается как $|x| = x$. Функция становится: $y = 2x + x = 3x$. Это часть прямой линии $y=3x$, расположенная в первой координатной четверти, включая начало координат.
• При $x < 0$: Модуль раскрывается как $|x| = -x$. Функция становится: $y = 2x + (-x) = x$. Это часть прямой линии $y=x$, расположенная в третьей координатной четверти.

Итак, график состоит из двух лучей, выходящих из точки $(0, 0)$:

• Луч $y=3x$ для $x \ge 0$. Проходит через точки $(0,0)$ и $(1,3)$.
• Луч $y=x$ для $x < 0$. Проходит через точки $(-1,-1)$ и $(-2,-2)$.

Ответ: График функции состоит из двух лучей, исходящих из точки $(0, 0)$: луча $y=3x$ при $x \ge 0$ и луча $y=x$ при $x < 0$.

3) $y = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$

Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt{x}$ определено только для неотрицательных значений $x$, то есть при $x \ge 0$.

На этой области определения ($x \ge 0$) мы можем упростить выражение: $y = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x$.

Следовательно, нам нужно построить график функции $y = x$ при условии $x \ge 0$. Это луч, который является биссектрисой первого координатного угла. Он начинается в точке $(0, 0)$ и проходит, например, через точку $(3, 3)$.

Ответ: График функции — это луч $y=x$, начинающийся в точке $(0,0)$ и расположенный в первой координатной четверти.

4) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x^2}} + 3$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $\sqrt{x^2} \ne 0$. Это эквивалентно $x^2 \ne 0$, то есть $x \ne 0$.

Упростим выражение, используя $\sqrt{x^2} = |x|$: $y = \frac{x^2}{|x|} + 3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• При $x > 0$: Модуль равен $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x^2}{x} + 3 = x + 3$. Это луч, выходящий из точки $(0, 3)$ (сама точка не включается, т.к. $x \ne 0$) и идущий вправо-вверх.
• При $x < 0$: Модуль равен $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = \frac{x^2}{-x} + 3 = -x + 3$. Это луч, выходящий из точки $(0, 3)$ (точка не включается) и идущий влево-вверх.

График состоит из двух лучей, которые "стыкуются" в выколотой точке $(0, 3)$. Фактически, это график функции $y=|x|+3$ с выколотой точкой в вершине.

Ответ: График функции состоит из двух лучей: $y = x+3$ при $x>0$ и $y=-x+3$ при $x<0$. Точка $(0, 3)$ является выколотой (не принадлежит графику).

517. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 2x}$, если $x \ge 0$;

2) $y = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}$.

1) $y = \sqrt{x^2 - 2x}$, если $x \ge 0$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x^2 - 2x \ge 0$
$x(x - 2) \ge 0$
Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

В задаче дано дополнительное условие $x \ge 0$. Найдем пересечение области определения функции и этого условия:
$((-\infty, 0] \cup [2, \infty)) \cap [0, \infty) = \{0\} \cup [2, \infty)$.
Это означает, что график функции будет существовать только в точке $x=0$ и на промежутке $x \ge 2$.

Вычислим значение функции в точке $x=0$:
$y(0) = \sqrt{0^2 - 2 \cdot 0} = 0$.
Таким образом, одна часть графика — это изолированная точка (0, 0).

Теперь рассмотрим функцию на промежутке $x \ge 2$. Чтобы понять форму графика, преобразуем уравнение $y = \sqrt{x^2 - 2x}$. Так как по определению корня $y \ge 0$, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:
$y^2 = x^2 - 2x$
Дополним правую часть до полного квадрата:
$y^2 = (x^2 - 2x + 1) - 1$
$y^2 = (x - 1)^2 - 1$
Перегруппируем слагаемые:
$(x - 1)^2 - y^2 = 1$
Это каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (1, 0) и вершинами в точках (0, 0) и (2, 0).

Так как мы рассматриваем исходное уравнение $y = \sqrt{x^2 - 2x}$, где $y \ge 0$, нас интересует только верхняя половина гиперболы. Условие $x \ge 2$ выделяет из этой верхней половины правую ветвь, которая начинается в точке (2, 0) и уходит вправо и вверх.

Ответ: График функции состоит из двух частей: изолированной точки (0, 0) и верхней части правой ветви гиперболы $(x - 1)^2 - y^2 = 1$, начинающейся в точке (2, 0).

2) $y = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}$

Найдем область определения функции. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$-x \ge 0$
Умножив на -1, получаем:
$x \le 0$
Таким образом, область определения функции — это промежуток $(-\infty, 0]$.

На этой области определения упростим выражение для $y$:
$y = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x} = (\sqrt{-x})^2$
По свойству арифметического квадратного корня $(\sqrt{a})^2 = a$, получаем:
$y = -x$

Итак, необходимо построить график линейной функции $y = -x$ при условии $x \le 0$.
График функции $y = -x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей.
Условие $x \le 0$ означает, что мы берем только ту часть прямой, которая расположена в левой полуплоскости (включая начало координат). Эта часть прямой полностью лежит во II координатной четверти и начинается в точке (0, 0).

Ответ: График функции является лучом, выходящим из начала координат (0, 0) и совпадающим с частью прямой $y = -x$ при $x \le 0$.

518. При каком значении x выполняется равенство:

1) $\sqrt{x^2} = x - 4;$

2) $\sqrt{x^2} = 6 - x;$

3) $2\sqrt{x^2} = x + 3?$

Для решения данных уравнений воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$. Это означает, что корень из квадрата числа равен модулю этого числа.

1) $\sqrt{x^2} = x - 4$

Заменяем $\sqrt{x^2}$ на $|x|$:
$|x| = x - 4$

По определению, модуль числа — величина неотрицательная, следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:
$x - 4 \geq 0$
$x \geq 4$

Поскольку мы ищем решения при условии $x \geq 4$, то $x$ является положительным числом. Для положительных чисел $|x| = x$. Подставим это в уравнение:
$x = x - 4$

Вычитая $x$ из обеих частей равенства, получаем:
$0 = -4$

Это неверное равенство, что означает, что у уравнения нет решений, удовлетворяющих условию $x \geq 4$. Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет.

2) $\sqrt{x^2} = 6 - x$

Заменяем $\sqrt{x^2}$ на $|x|$:
$|x| = 6 - x$

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:
$6 - x \geq 0$
$x \leq 6$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $x \geq 0$.
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x = 6 - x$
$2x = 6$
$x = 3$
Этот корень удовлетворяет обоим условиям: $x \geq 0$ и $x \leq 6$. Значит, $x = 3$ является решением.

Случай 2: $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x = 6 - x$
$0 = 6$
Это неверное равенство, следовательно, при $x < 0$ решений нет.

Единственным решением уравнения является $x = 3$.

Ответ: $x = 3$.

3) $2\sqrt{x^2} = x + 3$

Заменяем $\sqrt{x^2}$ на $|x|$:
$2|x| = x + 3$

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:
$x + 3 \geq 0$
$x \geq -3$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля с учетом условия $x \geq -3$.

Случай 1: $x \geq 0$. (Этот интервал входит в область $x \geq -3$)
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$2x = x + 3$
$2x - x = 3$
$x = 3$
Этот корень удовлетворяет условию $x \geq 0$. Значит, $x = 3$ является решением.

Случай 2: $x < 0$. С учетом общего ограничения $x \geq -3$, рассматриваем интервал $-3 \leq x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$2(-x) = x + 3$
$-2x = x + 3$
$-3x = 3$
$x = -1$
Этот корень удовлетворяет условию $-3 \leq x < 0$. Значит, $x = -1$ также является решением.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = 3$; $x = -1$.

519. Решите уравнение:

1) $ \sqrt{x^2} = x + 8; $

2) $ \sqrt{x^2} = 6x - 10. $

1) $\sqrt{x^2} = x + 8$

По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Поэтому исходное уравнение можно переписать в виде: $|x| = x + 8$

Так как левая часть уравнения, модуль $|x|$, всегда неотрицательна ($|x| \ge 0$), то и правая часть должна быть неотрицательной. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x + 8 \ge 0$ $x \ge -8$

Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид: $x = x + 8$ $0 = 8$ Это неверное числовое равенство, следовательно, при $x \ge 0$ у уравнения нет решений.

Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид: $-x = x + 8$ Перенесем $x$ в левую часть: $-x - x = 8$ $-2x = 8$ $x = \frac{8}{-2}$ $x = -4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -4$ условиям, при которых мы его нашли ($x < 0$) и общему ОДЗ ($x \ge -8$). Условие $x < 0$: $-4 < 0$ (верно). Условие ОДЗ $x \ge -8$: $-4 \ge -8$ (верно). Значит, $x = -4$ является решением уравнения.

Можно также выполнить проверку подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{(-4)^2} = -4 + 8$ $\sqrt{16} = 4$ $4 = 4$ Равенство верное.

Ответ: -4.

2) $\sqrt{x^2} = 6x - 10$

Используем тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. Уравнение принимает вид: $|x| = 6x - 10$

Левая часть уравнения $|x|$ неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательной. Найдем ОДЗ: $6x - 10 \ge 0$ $6x \ge 10$ $x \ge \frac{10}{6}$ $x \ge \frac{5}{3}$ Любой корень уравнения должен удовлетворять этому условию.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Заметим, что наше ОДЗ ($x \ge \frac{5}{3}$) уже означает, что $x$ положителен. Поэтому случай $x < 0$ можно не рассматривать, так как он не пересекается с ОДЗ. Но для полноты решения рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид: $x = 6x - 10$ $10 = 6x - x$ $10 = 5x$ $x = 2$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=2$ условию случая ($x \ge 0$) и ОДЗ ($x \ge \frac{5}{3}$). Условие $x \ge 0$: $2 \ge 0$ (верно). Условие ОДЗ $x \ge \frac{5}{3}$: $2 \ge \frac{5}{3}$ (верно, так как $2 = \frac{6}{3}$, а $\frac{6}{3} > \frac{5}{3}$). Следовательно, $x = 2$ является решением.

Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид: $-x = 6x - 10$ $10 = 6x + x$ $10 = 7x$ $x = \frac{10}{7}$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x = \frac{10}{7}$ условию данного случая ($x < 0$). $\frac{10}{7} > 0$, поэтому условие $x < 0$ не выполняется. Значит, $x = \frac{10}{7}$ является посторонним корнем и не является решением.

Таким образом, уравнение имеет только один корень. Проверим его подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{2^2} = 6(2) - 10$ $\sqrt{4} = 12 - 10$ $2 = 2$ Равенство верное.

Ответ: 2.

520. Найдите значение выражения

$(\frac{a^2 - 5a}{a^2 - 10a + 25} + \frac{25}{a^2 - 25}) : \frac{125 - a^3}{5 + a}$

при $a = 4.5.$

Для нахождения значения выражения сначала упростим его, выполняя действия по порядку, а затем подставим в полученное выражение значение переменной.

1. Выполним действие в скобках (сложение дробей).

Для этого сначала разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности и разность квадратов.

$a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2$

$a^2 - 25 = (a-5)(a+5)$

Теперь преобразуем выражение в скобках. Сократим первую дробь и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{a^2 - 5a}{a^2 - 10a + 25} + \frac{25}{a^2 - 25} = \frac{a(a-5)}{(a-5)^2} + \frac{25}{(a-5)(a+5)} = \frac{a}{a-5} + \frac{25}{(a-5)(a+5)}$

Приводим к общему знаменателю $(a-5)(a+5)$ и складываем:

$\frac{a(a+5)}{(a-5)(a+5)} + \frac{25}{(a-5)(a+5)} = \frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)}$

2. Выполним деление.

Разложим на множители числитель делителя, используя формулу разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$125 - a^3 = 5^3 - a^3 = (5-a)(25+5a+a^2)$

Теперь выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$(\frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)}) : (\frac{(5-a)(a^2+5a+25)}{5+a}) = \frac{a^2+5a+25}{(a-5)(a+5)} \cdot \frac{5+a}{(5-a)(a^2+5a+25)}$

Сократим одинаковые множители $(a^2+5a+25)$ и $(a+5)$ (так как $a+5=5+a$). Получим:

$\frac{1}{a-5} \cdot \frac{1}{5-a}$

Поскольку $5-a = -(a-5)$, то выражение можно упростить дальше:

$\frac{1}{(a-5)(-(a-5))} = -\frac{1}{(a-5)^2}$

3. Подставим значение $a = 4.5$ в упрощенное выражение.

Подставляем $a = 4.5$:

$-\frac{1}{(4.5 - 5)^2} = -\frac{1}{(-0.5)^2} = -\frac{1}{0.25}$

Так как $0.25 = \frac{1}{4}$, то:

$-\frac{1}{0.25} = -\frac{1}{1/4} = -4$

Ответ: -4