Номер 517, страница 132 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Упражнения - номер 517, страница 132.

Условие.

517. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x^2 - 2x}$, если $x \ge 0$;

2) $y = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \sqrt{x^2 - 2x}$, если $x \ge 0$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x^2 - 2x \ge 0$
$x(x - 2) \ge 0$
Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty, 0] \cup [2, \infty)$.

В задаче дано дополнительное условие $x \ge 0$. Найдем пересечение области определения функции и этого условия:
$((-\infty, 0] \cup [2, \infty)) \cap [0, \infty) = \{0\} \cup [2, \infty)$.
Это означает, что график функции будет существовать только в точке $x=0$ и на промежутке $x \ge 2$.

Вычислим значение функции в точке $x=0$:
$y(0) = \sqrt{0^2 - 2 \cdot 0} = 0$.
Таким образом, одна часть графика — это изолированная точка (0, 0).

Теперь рассмотрим функцию на промежутке $x \ge 2$. Чтобы понять форму графика, преобразуем уравнение $y = \sqrt{x^2 - 2x}$. Так как по определению корня $y \ge 0$, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:
$y^2 = x^2 - 2x$
Дополним правую часть до полного квадрата:
$y^2 = (x^2 - 2x + 1) - 1$
$y^2 = (x - 1)^2 - 1$
Перегруппируем слагаемые:
$(x - 1)^2 - y^2 = 1$
Это каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (1, 0) и вершинами в точках (0, 0) и (2, 0).

Так как мы рассматриваем исходное уравнение $y = \sqrt{x^2 - 2x}$, где $y \ge 0$, нас интересует только верхняя половина гиперболы. Условие $x \ge 2$ выделяет из этой верхней половины правую ветвь, которая начинается в точке (2, 0) и уходит вправо и вверх.

Ответ: График функции состоит из двух частей: изолированной точки (0, 0) и верхней части правой ветви гиперболы $(x - 1)^2 - y^2 = 1$, начинающейся в точке (2, 0).

2) $y = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}$

Найдем область определения функции. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$-x \ge 0$
Умножив на -1, получаем:
$x \le 0$
Таким образом, область определения функции — это промежуток $(-\infty, 0]$.

На этой области определения упростим выражение для $y$:
$y = \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x} = (\sqrt{-x})^2$
По свойству арифметического квадратного корня $(\sqrt{a})^2 = a$, получаем:
$y = -x$

Итак, необходимо построить график линейной функции $y = -x$ при условии $x \le 0$.
График функции $y = -x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей.
Условие $x \le 0$ означает, что мы берем только ту часть прямой, которая расположена в левой полуплоскости (включая начало координат). Эта часть прямой полностью лежит во II координатной четверти и начинается в точке (0, 0).

Ответ: График функции является лучом, выходящим из начала координат (0, 0) и совпадающим с частью прямой $y = -x$ при $x \le 0$.