Номер 510, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 510, страница 131.

Условие.

510. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

1) $\sqrt{b^2}$;

2) $-0,4\sqrt{c^2}$;

3) $\sqrt{a^6}$;

4) $\sqrt{m^8}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для того чтобы заменить выражение $\sqrt{b^2}$ тождественно равным, не содержащим знака корня, воспользуемся основным свойством арифметического квадратного корня: для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $\sqrt{x^2} = |x|$. Применяя это свойство к данному выражению, где в роли $x$ выступает $b$, получаем: $\sqrt{b^2} = |b|$. Выражение $|b|$ (модуль $b$) является искомым, так как оно тождественно равно $\sqrt{b^2}$ и не содержит знака корня.

Ответ: $|b|$.

2)

Рассмотрим выражение $-0,4\sqrt{c^2}$. Оно состоит из числового множителя $-0,4$ и радикала $\sqrt{c^2}$. Сначала упростим корень, используя тождество $\sqrt{x^2} = |x|$. В данном случае $\sqrt{c^2} = |c|$. Теперь подставим упрощенный корень обратно в выражение: $-0,4\sqrt{c^2} = -0,4 \cdot |c| = -0,4|c|$. Полученное выражение $-0,4|c|$ тождественно равно исходному и не содержит знака корня.

Ответ: $-0,4|c|$.

3)

Рассмотрим выражение $\sqrt{a^6}$. Чтобы избавиться от знака корня, представим подкоренное выражение $a^6$ в виде квадрата другого выражения. Используя свойство степеней $(x^n)^m = x^{nm}$, мы можем записать $a^6$ как $(a^3)^2$. Теперь подставим это под знак корня: $\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2}$. Применим тождество $\sqrt{x^2} = |x|$, где в роли $x$ выступает $a^3$: $\sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$. Поскольку показатель степени 3 является нечетным числом, знак выражения $a^3$ совпадает со знаком $a$. Это значит, что $a^3$ может быть как положительным, так и отрицательным. Следовательно, знак модуля необходимо сохранить.

Ответ: $|a^3|$.

4)

Рассмотрим выражение $\sqrt{m^8}$. Аналогично предыдущему пункту, представим подкоренное выражение $m^8$ в виде полного квадрата. Используя свойство степеней, запишем $m^8$ как $(m^4)^2$. Подставим это в исходное выражение: $\sqrt{m^8} = \sqrt{(m^4)^2}$. Применим тождество $\sqrt{x^2} = |x|$ для $x = m^4$: $\sqrt{(m^4)^2} = |m^4|$. Теперь проанализируем выражение под знаком модуля. Показатель степени 4 является четным числом. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным. То есть, $m^4 \ge 0$ для любого значения $m$. Поскольку выражение $m^4$ всегда неотрицательно, его модуль равен самому выражению: $|m^4| = m^4$. Таким образом, итоговое выражение не содержит ни знака корня, ни знака модуля.

Ответ: $m^4$.