Номер 505, страница 131 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Свойства арифметического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 505, страница 131.

Условие.

505. При каких значениях a и b выполняется равенство:

1) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$;

2) $\sqrt{ab} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$;

3) $\sqrt{-ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Данное равенство является основным свойством арифметического квадратного корня. Для того чтобы все выражения в равенстве были определены, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными.

Рассмотрим правую часть равенства: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

Выражение $\sqrt{a}$ определено при $a \geq 0$.
Выражение $\sqrt{b}$ определено при $b \geq 0$.
Следовательно, правая часть равенства определена, если одновременно выполняются условия $a \geq 0$ и $b \geq 0$.

Теперь рассмотрим левую часть при этих условиях: $\sqrt{ab}$.
Если $a \geq 0$ и $b \geq 0$, то их произведение $ab \geq 0$. Значит, левая часть также определена.

Таким образом, равенство выполняется при $a \geq 0$ и $b \geq 0$.

Ответ: $a \geq 0$, $b \geq 0$.

2) $\sqrt{ab} = \sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$

Для того чтобы все выражения в равенстве были определены, необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными.

Рассмотрим правую часть равенства: $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b}$.

Выражение $\sqrt{-a}$ определено при $-a \geq 0$, что эквивалентно $a \leq 0$.
Выражение $\sqrt{-b}$ определено при $-b \geq 0$, что эквивалентно $b \leq 0$.
Следовательно, правая часть равенства определена, если одновременно выполняются условия $a \leq 0$ и $b \leq 0$.

Рассмотрим левую часть при этих условиях: $\sqrt{ab}$.
Если $a \leq 0$ и $b \leq 0$, то их произведение $ab \geq 0$. Значит, левая часть также определена.

Проверим, выполняется ли равенство при $a \leq 0$ и $b \leq 0$. Пусть $a = -x$ и $b = -y$, где $x \geq 0$ и $y \geq 0$.
Левая часть: $\sqrt{ab} = \sqrt{(-x)(-y)} = \sqrt{xy}$.
Правая часть: $\sqrt{-a} \cdot \sqrt{-b} = \sqrt{-(-x)} \cdot \sqrt{-(-y)} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$.
Поскольку $x \geq 0$ и $y \geq 0$, то $\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$. Равенство выполняется.

Ответ: $a \leq 0$, $b \leq 0$.

3) $\sqrt{-ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$

Для того чтобы все выражения в равенстве были определены, необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательными.

Рассмотрим правую часть равенства: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{-b}$.

Выражение $\sqrt{a}$ определено при $a \geq 0$.
Выражение $\sqrt{-b}$ определено при $-b \geq 0$, что эквивалентно $b \leq 0$.
Следовательно, правая часть равенства определена, если одновременно выполняются условия $a \geq 0$ и $b \leq 0$.

Рассмотрим левую часть при этих условиях: $\sqrt{-ab}$.
Если $a \geq 0$ и $b \leq 0$, то их произведение $ab \leq 0$. Тогда $-ab \geq 0$. Значит, левая часть также определена.

Проверим, выполняется ли равенство при $a \geq 0$ и $b \leq 0$. Пусть $b = -y$, где $y \geq 0$.
Левая часть: $\sqrt{-ab} = \sqrt{-a(-y)} = \sqrt{ay}$.
Правая часть: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{-b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-(-y)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{y}$.
Поскольку $a \geq 0$ и $y \geq 0$, то $\sqrt{ay} = \sqrt{a}\sqrt{y}$. Равенство выполняется.

Ответ: $a \geq 0$, $b \leq 0$.